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Jean-François COLONNA
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    • Roger Penrose a découvert au début des années 1970 deux losanges -basés eux-mêmes sur deux triangles isocèles de côtés {1,phi,1} et {1,1/phi,1}- qui permettent de paver le plan de façon apériodique
    Roger Penrose a découvert au début des années 1970 deux losanges -basés eux-mêmes sur deux triangles isocèles de côtés {1,phi,1} et {1,1/phi,1}- qui permettent de paver le plan de façon apériodique.    		Roger Penrose a découvert au début des années 1970 deux losanges -basés eux-mêmes sur deux triangles isocèles de côtés {1,phi,1} et {1,1/phi,1}- qui permettent de paver le plan de façon apériodique. Les couleurs choisies rendent hommage à Piet Mondrian
    Roger Penrose a découvert au début des années 1970 deux losanges -basés eux-mêmes sur deux triangles isocèles de côtés {1,phi,1} et {1,1/phi,1}- qui permettent de paver le plan de façon apériodique. Les couleurs choisies rendent hommage à Piet Mondrian.    		Alors que cela semblait impossible, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodmann-Strauss ont découvert en 2023 une pièce unique dite le spectre qui pave le plan de façon apériodique
    Alors que cela semblait impossible, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodmann-Strauss ont découvert en 2023 une pièce unique dite le spectre qui pave le plan de façon apériodique.    		Pavage aléatoire d'un domaine rectangulaire en utilisant des dominos (rectangles 1x2)et en parcourant le domaine ligne après ligne- avec visualisation des amas de rectangles horizontaux et verticaux utilisant la 4-connexité
    Pavage aléatoire d'un domaine rectangulaire en utilisant des dominos (rectangles 1x2) et en parcourant le domaine ligne après ligne- avec visualisation des amas de rectangles horizontaux et verticaux utilisant la 4-connexité.



    La fonction Zêta de Riemann est fondamentale pour l'étude de la distribution des nombres premiers. Définie dans le plan complexe, elle possède deux type de zéros : d'une part les triviaux qui sont les entiers pairs strictement négatifs. D'autre part les non triviaux qui semblent être tous localisés sur la droite x=1/2. Ce problème appelé hypothèse de Riemann n'est toujours pas résolu.
    La fonction Zêta de Riemann est fondamentale pour l'étude de la distribution des nombres premiers. Définie dans le plan complexe, elle possède deux type de zéros : d'une part les triviaux qui sont les entiers pairs strictement négatifs. D'autre part les non triviaux qui semblent être tous localisés sur la droite x=1/2. Ce problème appelé hypothèse de Riemann n'est toujours pas résolu..    		Christian Goldbach et Leonhard Euler remarquèrent en 1742 que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 semblait pouvoir s'écrire d'au moins une façon comme la somme de deux nombres premiers. Ce problème appelé conjecture de Goldbach n'est toujours pas résolu. Cette figure (l'arc-en ciel de Goldbach) montre sur l'axe vertical le nombre de décompositions des nombres pairs portés sur l'axe horizontal. On voit nettement que ce nombre augmente, mais cela ne constitue pas une démonstration ! Les calculs faits sur ordinateur n'ont pas révélé de contre-exemple, mais n'oublions pas que la plupart des nombres entiers nous sont inacessibles...
    Christian Goldbach et Leonhard Euler remarquèrent en 1742 que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 semblait pouvoir s'écrire d'au moins une façon comme la somme de deux nombres premiers. Ce problème appelé conjecture de Goldbach n'est toujours pas résolu. Cette figure (l'arc-en ciel de Goldbach) montre sur l'axe vertical le nombre de décompositions des nombres pairs portés sur l'axe horizontal. On voit nettement que ce nombre augmente, mais cela ne constitue pas une démonstration ! Les calculs faits sur ordinateur n'ont pas révélé de contre-exemple, mais n'oublions pas que la plupart des nombres entiers nous sont inacessibles....



    Pour construire des structures paradoxales d'une complexité arbitraire, une solution consiste à définir un alphabet de formes simples et planes, mais d'apparence tridimensionnelle, que l'on assemblera ensuite côte à côte
    Pour construire des structures paradoxales d'une complexité arbitraire, une solution consiste à définir un alphabet de formes simples et planes, mais d'apparence tridimensionnelle, que l'on assemblera ensuite côte à côte.    		Un alphabet de formes simples et planes, mais d'apparence tridimensionnelle, est utilisé et dix 'lettres' différentes y sont choisies arbitrairement et associées aux dix chiffres de 0 à 9. Une spirale 'carrée' est tracée sur un plan et les 500 premières décimales de π sont chacune matérialisé par la 'lettre' qui lui est associée. Cela donne alors une structure paradoxale d'apparence tridimensionnelle visualisant π en quelque sorte
    Un alphabet de formes simples et planes, mais d'apparence tridimensionnelle, est utilisé et dix 'lettres' différentes y sont choisies arbitrairement et associées aux dix chiffres de 0 à 9. Une spirale 'carrée' est tracée sur un plan et les 500 premières décimales de π sont chacune matérialisé par la 'lettre' qui lui est associée. Cela donne alors une structure paradoxale d'apparence tridimensionnelle visualisant π en quelque sorte.    		Escalier quadruplement impossible : choisissant un sens de parcours il est toujours montant, ou bien toujours descendant, ou enfin alternant, mais aussi ses arêtes sont faites d'une fine structure paradoxale de couleur blanche
    Escalier quadruplement impossible : choisissant un sens de parcours il est toujours montant, ou bien toujours descendant, ou enfin alternant, mais aussi ses arêtes sont faites d'une fine structure paradoxale de couleur blanche.    		Des entrelacs complexes peuvent être construits à l'aide de déformations élémentaires récursives
    Des entrelacs complexes peuvent être construits à l'aide de déformations élémentaires récursives.



    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R^2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette image montre 5 itérations du processus de construction d'une telle courbe due a Hilbert
    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette image montre 5 itérations du processus de construction d'une telle courbe due a Hilbert.    		Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R^2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette image montre 3 itérations du processus de construction d'une telle courbe due a Hilbert
    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette image montre 3 itérations du processus de construction d'une telle courbe due a Hilbert.    		Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R^2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette image montre 2 itérations du processus de construction d'une telle courbe basé sur un nœud de trèfle 'ouvert'
    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette image montre 2 itérations du processus de construction d'une telle courbe basé sur un nœud de trèfle 'ouvert'.    		Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R^2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette sphère est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v} le long d'une telle courbe due a Hilbert
    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette sphère est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v} le long d'une telle courbe due a Hilbert.    		Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R^2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette bouteille de Klein est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v} le long d'une telle courbe due a Hilbert
    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un carré. Cette bouteille de Klein est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v} le long d'une telle courbe due a Hilbert.
    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R^2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette boule est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v,w} le long d'une telle courbe due a Hilbert
    Lors de ses travaux sur les infinis, Georg Cantor a démontré que R, R2, R3,... avaient le même cardinal. Cela a ouvert la porte aux courbes passant par tous les points d'un cube. Cette boule est construite en parcourant son espace de paramétrage {u,v,w} le long d'une telle courbe due a Hilbert.



    Le flocon de von Koch s'obtient en partant d'un triangle équilatéral. Chacun de ses côtés est remplacé par une figure faite de quatre segments trois fois plus petits. Ce processus est ensuite itéré indéfiniment (4 fois sur cette image).
    Le flocon de von Koch s'obtient en partant d'un triangle équilatéral. Chacun de ses côtés est remplacé par une figure faite de quatre segments trois fois plus petits. Ce processus est ensuite itéré indéfiniment (4 fois sur cette image).    		Le tapis de Sierpinski s'obtient en partant d'un carré que l'on découpe en 3x3 petits carrés, puis en supprimant celui qui est au centre et enfin en itérant ce processus indéfiniment (5 fois sur cette image). L'objet obtenu a une dimension fractale égale à log(8)/log(3)=1.8927...
    Le tapis de Sierpinski s'obtient en partant d'un carré que l'on découpe en 3x3 petits carrés, puis en supprimant celui qui est au centre et enfin en itérant ce processus indéfiniment (5 fois sur cette image). L'objet obtenu a une dimension fractale égale à log(8)/log(3)=1.8927....    		L'éponge de Menger s'obtient en partant d'un cube que l'on découpe en 3x3x3 petits cubes, puis en supprimant les sept qui sont au centre ainsi qu'au milieu des six faces et enfin en itérant ce processus indéfiniment (5 fois sur cette image). L'objet obtenu a une dimension fractale égale à log(20)/log(3)=2.7268...
    L'éponge de Menger s'obtient en partant d'un cube que l'on découpe en 3x3x3 petits cubes, puis en supprimant les sept qui sont au centre ainsi qu'au milieu des six faces et enfin en itérant ce processus indéfiniment (5 fois sur cette image). L'objet obtenu a une dimension fractale égale à log(20)/log(3)=2.7268....



    Les racines N-ièmes de l'unité sont triviales à calculer exactement. Mais il est possible aussi de le faire via la méthode itérative de Newton. Le plan complexe se partionne alors en N zones de structures fractales correspondant aux N racines (N=5 dans cet exemple qui montre quelques trajectoires menant de 16 points -disques blancs- aux 5 racines -carrés noirs-)
    Les racines N-ièmes de l'unité sont triviales à calculer exactement. Mais il est possible aussi de le faire via la méthode itérative de Newton. Le plan complexe se partionne alors en N zones de structures fractales correspondant aux N racines (N=5 dans cet exemple qui montre quelques trajectoires menant de 16 points -disques blancs- aux 5 racines -carrés noirs-).    		L'ensemble de Mandelbrot M est l'ensemble des nombres complexes définissant des ensembles de Julia J connexes. Cette image est extraite d'une animation présentant un voyage le long de la frontière de M et les J correspondant au point courant. La troisième dimension visualise le nombre d'itérations effectuées lors du calcul de M
    L'ensemble de Mandelbrot M est l'ensemble des nombres complexes définissant des ensembles de Julia J connexes. Cette image est extraite d'une animation présentant un voyage le long de la frontière de M et les J correspondant au point courant. La troisième dimension visualise le nombre d'itérations effectuées lors du calcul de M.    		Un ensemble de Mandelbrot calculé dans l'ensemble des 'pseudo-quaternions' qui utilise une arithmétique différente de celles des quaternions
    Un ensemble de Mandelbrot calculé dans l'ensemble des 'pseudo-quaternions' qui utilise une arithmétique différente de celles des quaternions.



    La fonction e^1/z est définie dans le plan complexe. En chaque point z de ce plan, le module et l'argument de cette fonction sont visualisés respectivement par une troisième dimension orthogonale au plan et des couleurs
    La fonction e1/z est définie dans le plan complexe. En chaque point z de ce plan, le module et l'argument de cette fonction sont visualisés respectivement par une troisième dimension orthogonale au plan et des couleurs.



    Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-3/2 pour cette image)ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à un demi-tour
    Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-3/2 pour cette image) ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à un demi-tour.    		Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-5/2 pour cette image)ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à trois demi-tours
    Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-5/2 pour cette image) ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à trois demi-tours.    		Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-7/2 pour cette image)ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à cinq demi-tours
    Un Nœud de trèfle peut être construit en traçant sur un tore une courbe correspondant à une droite de pente rationnelle 'simple' dans son espace de paramétrage {u,v} (-7/2 pour cette image) ce qui donne simultanément un ruban de ruban de Möbius à cinq demi-tours.



    On appelle mouvement brownien bidimensionnel le mouvement d'une particule dont les déplacements dans le plan sont aléatoires. Les couleurs utilisées sont fonction du temps et la courbe blanche est l'enveloppe de la trajectoire qui sont toutes deux des courbes fractales de dimensions respectives 4/3 et 2
    On appelle mouvement brownien bidimensionnel le mouvement d'une particule dont les déplacements dans le plan sont aléatoires. Les couleurs utilisées sont fonction du temps et la courbe blanche est l'enveloppe de la trajectoire qui sont toutes deux des courbes fractales de dimensions respectives 4/3 et 2.    		La dynamique de Verhulst est définie par l'itération Xn=RXn-1(1-Xn-1). Pour R > 3.569 les valeurs de Xn sont chaotiques, sensibles aux conditions initiales et donc aux erreurs d'arrondi. En général, R est une constante, mais il est possible de modifier cette valeur en fonction de n. Dans cet exemple, l'espace est tridimensionnel. En chaque point de coordonnées {R1,R2,R3} l'itération de Verhulst utilisant X0=0.5 et un R fonction de {n,R1,R2,R3} va être étudiée via son exposant de Lyapunov : si elle est non chaotique, le point {R1,R2,R3} sera marqué d'un point dont la couleur est fonction de {R1,R2,R3}.
    La dynamique de Verhulst est définie par l'itération Xn=RXn-1(1-Xn-1). Pour R > 3.569 les valeurs de Xn sont chaotiques, sensibles aux conditions initiales et donc aux erreurs d'arrondi. En général, R est une constante, mais il est possible de modifier cette valeur en fonction de n. Dans cet exemple, l'espace est tridimensionnel. En chaque point de coordonnées {R1,R2,R3} l'itération de Verhulst utilisant X0=0.5 et un R fonction de {n,R1,R2,R3} va être étudiée via son exposant de Lyapunov : si elle est non chaotique, le point {R1,R2,R3} sera marqué d'un point dont la couleur est fonction de {R1,R2,R3}..    		La marche aléatoire de particules sur un réseau carré d'un plan permet d'étudier le phénomène de la diffusion bidimensionnelle. Des amas de particules se créent et leur topologie peut varier brutalement et de façon macroscopique au cours du temps suite au déplacement élémentaire de l'une des particules -marquée en blanc sur cette image-
    La marche aléatoire de particules sur un réseau carré d'un plan permet d'étudier le phénomène de la diffusion bidimensionnelle. Des amas de particules se créent et leur topologie peut varier brutalement et de façon macroscopique au cours du temps suite au déplacement élémentaire de l'une des particules -marquée en blanc sur cette image-.



    La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les reliefs montagneux (celui de Monument Valley sur cette image)ainsi que les nuages
    La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les reliefs montagneux (celui de Monument Valley sur cette image) ainsi que les nuages.    		La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les bords de mer ainsi que la brume
    La géométrie fractale permet de décrire et de simuler de nombreux phénomènes naturels et par exemple les bords de mer ainsi que la brume.



    Les épicycles de Ptolémée revisités : c'est le fait d'observer les planètes en orbite autour du Soleil depuis la Terre qui elle-même est entrainée dans ce mouvement qui a donné naissance aux épicycles. Il s'agit donc d'un problème de mouvement relatif. Ces images montrent comment serait vu le système solaire depuis seize planètes virtuelles de trajectoires très différentes et en particulier situées hors du plan de l'écliptique
    Les épicycles de Ptolémée revisités : c'est le fait d'observer les planètes en orbite autour du Soleil depuis la Terre qui elle-même est entrainée dans ce mouvement qui a donné naissance aux épicycles. Il s'agit donc d'un problème de mouvement relatif. Ces images montrent comment serait vu le système solaire depuis seize planètes virtuelles de trajectoires très différentes et en particulier situées hors du plan de l'écliptique.    		Représentation tridimensionnelle de l'espace à l'échelle de Planck (10^-34 mètre) dans le cadre de la théorie des super-cordes. En chaque point de l'espace 'classique' à 3 dimensions (matérialisé par un réseau cubique déformé) existeraient 6 dimensions compactes supplémentaires sous forme d'une variété de Calabi-Yau
    Représentation tridimensionnelle de l'espace à l'échelle de Planck (10-34 mètre) dans le cadre de la théorie des super-cordes. En chaque point de l'espace 'classique' à 3 dimensions (matérialisé par un réseau cubique déformé) existeraient 6 dimensions compactes supplémentaires sous forme d'une variété de Calabi-Yau.



    L'image de synthèse est d'une grande utilité pour visualiser les objets mathématiques, mais il est important de connaître les illusions d'optique afin de ne pas commettre d'erreurs de lecture. Sur cette image les deux petits rectangles ont exactement la même luminance : c'est l'illusion dite de contraste simultané
    L'image de synthèse est d'une grande utilité pour visualiser les objets mathématiques, mais il est important de connaître les illusions d'optique afin de ne pas commettre d'erreurs de lecture. Sur cette image les deux petits rectangles ont exactement la même luminance : c'est l'illusion dite de contraste simultané.    		Les objets mathématiques et les nombres en particulier n'ont pas de couleurs. Malheureusement pour les présenter sous forme d'images, il faut malgré tout leur en attribuer et le choix qui est fait alors est arbitraire. Ces quatre images visualisent la même matrice mais avec des conventions différentes ce qui conduit à des représentations incompatibles entre-elles
    Les objets mathématiques et les nombres en particulier n'ont pas de couleurs. Malheureusement pour les présenter sous forme d'images, il faut malgré tout leur en attribuer et le choix qui est fait alors est arbitraire. Ces quatre images visualisent la même matrice mais avec des conventions différentes ce qui conduit à des représentations incompatibles entre-elles.



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