• UNE LISTE DE SYMBOLES :

  • A B C D E F...
  • a b c d e f...
  • α β γ δ ε ζ...
  • 0 1 2 3 4 5...
  • + - * / = ()...
  • etc...






• LA LOGIQUE DES PREDICATS (ou CALCUL DES PREDICATS DU PREMIER ORDRE) :

  • Un langage formalisé universel, simple et suffisant pour permettre l'expression de TOUS les concepts mathématiques.
  • Des constantes et des variables.
  • Les foncteurs : "non", "et", "ou", "implique" et "équivalent".
  • Deux quantificateurs : "il existe" et "pour tout".
  • Des prédicats, c'est-à-dire des propriétés dont la vérité dépend d'une ou plusieurs variables. Par exemple :

                        PAIR(x) est VRAI si 'x' est un entier pair et FAUX dans les autres cas.
    

  • Une syntaxe qui permet d'écrire des propositions (VRAIES ou FAUSSES).
  • Toute proposition est soit VRAIE, soit FAUSSE (principe du tiers exclu -inutilisé en logique intuitionniste-).
  • Aucune proposition ne peut être à la fois VRAIE et FAUSSE (principe de non contradiction).
  • etc...






• LES QUATRE TYPES DE PROPOSITIONS :

  • Un petit nombre d'axiomes (des propositions fondamentales et non démontrables, choisies en général pour leur évidence, leur utilité et parce qu'elles sont acceptées par tous) sur lesquels repose la structure "pyramidale" infinie des Mathématiques :
    
    
    
    
    • L'arithmétique élémentaire de Peano :
      
      
      • L'élément appelé zéro et noté 0 est un entier naturel.
      • Tout entier naturel n a un successeur noté S(n).
      • Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
      • [S(m)=S(n)] ==> [m=n].
      • etc...
      
      
      
      • L'ensemble des nombres entiers est alors :

                            {0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),S(S(S(S(0)))),S(S(S(S(S(0))))),S(S(S(S(S(S(0)))))),S(S(S(S(S(S(S(0))))))),...}
                               |__| |_____| |________| |___________| |______________| |_________________| |____________________|
        

        que l'on note le plus souvent :

                            {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
        

    
    
    
    
    • La théorie des ensembles ZFC -Zermelo, Fraenkel, axiome du choix- :
      
      
      • Il existe un ensemble dont aucun ensemble n'est élément (axiome de l'ensemble vide).
      • Deux ensembles possédant les mêmes éléments sont égaux.
      • etc...
    
    
    
    
    • La géométrie euclidienne :
      
      
      • Par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule.
      • Dans un plan, étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point et parallèle à la première (axiome des parallèles).
      • etc...
    
    
    
    
    • etc...
  
  
  
  
  
  • Des théorèmes : c'est-à-dire des propositions démontrées comme étant VRAIES.
  
  
  
  
  
  • Des conjectures : c'est-à-dire des propositions en attente de confirmation (par une démonstration) ou de réfutation (par une démonstration ou la mise en évidence d'un contre-exemple).
  
  
  
  
  
  • Des indécidables : c'est-à-dire des propositions dont on ne peut dire ni si elles sont VRAIES, ni si elles sont FAUSSES.

• Une liste de symboles : L'échiquier et les différentes pièces (blanches et noires).



• Une syntaxe et les règles de la logique : Les déplacements autorisés des différents types de pièces.



• Un petit nombre d'axiomes : L'unique configuration initiale possible des pièces sur l'échiquier.



• Des théorèmes : Les configurations possibles (c'est-à-dire accessibles depuis la configuration initiale) des pièces sur l'échiquier.



• Des conjectures : Les configurations (a priori quelconques) des pièces sur l'échiquier (sont-elles accessibles ?).

• Une vérification n'est pas une démonstration !



• Une démonstration "manipule" globalement et implicitement une infinité de cas, alors qu'une vérification ne peut porter que sur un nombre fini d'entre-eux...



• La recherche de contre-exemples, lorsque cela a un sens.



• Voir le Théorème de Pythagore.

 2    2    2
Z  = X  + Y 

figure approximative

tous les autres -une infinité-

• Faire de la recherche (en Mathématiques) : C'est se poser de bonnes questions puis tenter d'y répondre...



















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• Quelques problèmes "élémentaires" (à formuler...) dits ouverts et donc à l'état de conjectures :





• La conjecture de Syracuse (Lothar Collatz 1928).



• La conjecture des nombres premiers jumeaux (fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-) :



• La conjecture de Goldbach (Christian Goldbach et Leonhard Euler -1742-, fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-).

• Les vingt-trois problèmes de David Hilbert (second Congrès International des Mathématiciens, Paris, août 1900). Des problèmes "plus difficiles" (à expliquer), plusieurs d'entre-eux n'étant toujours pas résolus et par exemple :



• L'hypothèse de Riemann (Bernhard Riemann 1859, fait partie du huitième problème de Hilbert).



• HC,l'Hypothèse du Continu (Georg Cantor ~1890, premier problème de Hilbert) :

• De rares exceptions :
  
  
  • Les équations de Navier-Stokes de la Mécanique des fluides (Henri Navier et George Stokes, XIXe siècle) figurent parmi les sept problèmes du millénaire de la Fondation Clay (2000).

• Le théorème de Pythagore.

   2    2    2
  Z  = X  + Y 
  

• Les équations diophantiennes. L'équation :

                       2    2    2
                      X  + Y  = Z
  

  a une infinité de solutions entières {X,Y,Z} et, par exemple, la plus fameuse d'entre-elles :

                       2    2    2
                      3  + 4  = 5
  

  ou encore :

                       2     2     2
                      5  + 12  = 13
  

                       2    2     2
                      6  + 8  = 10
  

                       2     2     2
                      8  + 15  = 17
  

                       2     2     2
                      9  + 12  = 15
  

                        2     2     2
                      12  + 16  = 20
  

                      (...)
  






• Le grand "théorème" de Fermat. L'équation :

                       n    n    n
                      X  + Y  = Z     {X,Y,Z,n} ∈ N     X.Y.Z # 0
  

  n'a pas de solutions entières {X,Y,Z} pour n=0 et n>2.





• Le chemin parcouru peut être plus enrichissant que la destination elle-même.





• Des applications a posteriori : Courbes elliptiques (conjecture Shimura-Taniyama-Weil démontrée en grande partie par Andrew Wiles) et cryptographie,...