LES MATHEMATIQUES SONT UN SYSTEME FORMEL SANS RAPPORT A PRIORI AVEC LA RÉALITÉ:
-
UNE LISTE DE SYMBOLES:
- A B C D E F...
- a b c d e f...
- α β γ δ ε ζ...
- 0 1 2 3 4 5...
- + - * / = ()...
- etc...
-
LA LOGIQUE DES PREDICATS (ou CALCUL DES PREDICATS DU PREMIER ORDRE):
- Un langage formalisé universel, simple et suffisant pour permettre l'expression de TOUS les concepts mathématiques.
- Des constantes et des variables.
- Les foncteurs: "non", "et", "ou", "implique" et "équivalent".
- Deux quantificateurs: "il existe" et "pour tout".
- Des prédicats, c'est-à-dire des propriétés dont la vérité dépend d'une ou
plusieurs variables. Par exemple:
PAIR(x) est VRAI si 'x' est un entier pair et FAUX dans les autres cas.
- Une syntaxe qui permet d'écrire des propositions (VRAIES ou FAUSSES).
- Toute proposition est soit VRAIE, soit FAUSSE (principe du tiers exclu -inutilisé en logique intuitionniste-).
- Aucune proposition ne peut être à la fois VRAIE et FAUSSE (principe de non contradiction).
- etc...
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LES QUATRE TYPES DE PROPOSITIONS:
- Un petit nombre d'axiomes (des propositions fondamentales et non démontrables, choisies en général
pour leur évidence, leur utilité et parce qu'elles sont acceptées par tous)
sur lesquels repose la structure "pyramidale" infinie des Mathématiques:
- L'arithmétique élémentaire de Peano:
- L'élément appelé zéro et noté 0 est un entier naturel.
- Tout entier naturel n a un successeur noté S(n).
- Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
- [S(m)=S(n)] ==> [m=n].
- etc...
- L'ensemble des nombres entiers est alors:
{0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),S(S(S(S(0)))),S(S(S(S(S(0))))),S(S(S(S(S(S(0)))))),S(S(S(S(S(S(S(0))))))),...} |__| |_____| |________| |___________| |______________| |_________________| |____________________|que l'on note le plus souvent:{0,1,2,3,4,5,6,7,...}
- La théorie des ensembles ZFC -Zermelo, Fraenkel, axiome du choix-:
- Il existe un ensemble dont aucun ensemble n'est élément (axiome de l'ensemble vide).
- Deux ensembles possédant les mêmes éléments sont égaux.
- etc...
- La géométrie euclidienne:
- Par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule.
- Dans un plan, étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point et parallèle à la première (axiome des parallèles).
- etc...
- etc...
- L'arithmétique élémentaire de Peano:
- Des théorèmes: c'est-à-dire des propositions démontrées comme étant VRAIES.
- Des conjectures: c'est-à-dire des propositions en attente de confirmation (par une démonstration) ou de réfutation (par une démonstration ou la mise en évidence d'un contre-exemple).
- Des indécidables: c'est-à-dire des propositions dont on ne peut dire ni si elles sont VRAIES, ni si elles sont FAUSSES.
- Un petit nombre d'axiomes (des propositions fondamentales et non démontrables, choisies en général
pour leur évidence, leur utilité et parce qu'elles sont acceptées par tous)
sur lesquels repose la structure "pyramidale" infinie des Mathématiques:
LES MATHEMATIQUES PEUVENT ETRE VUES COMME UN JEU TEL LES ECHECS:
- Une liste de symboles: L'échiquier et les différentes pièces (blanches et noires).
- Une syntaxe et les règles de la logique: Les déplacements autorisés des différents types de pièces.
- Un petit nombre d'axiomes: L'unique configuration initiale possible des pièces sur l'échiquier.
- Des théorèmes: Les configurations possibles (c'est-à-dire accessibles depuis la configuration initiale) des pièces sur l'échiquier.
- Des conjectures: Les configurations (a priori quelconques) des pièces sur l'échiquier (sont-elles accessibles?).
VERIFICATIONS, DEMONSTRATIONS ET INFINIS...
- Une vérification n'est pas une démonstration!
- Une démonstration "manipule" globalement et implicitement une infinité de cas, alors qu'une vérification ne peut porter que sur un nombre fini d'entre-eux...
- La recherche de contre-exemples, lorsque cela a un sens.
- Voir le Théorème de Pythagore.
UN EXEMPLE, LE THEOREME DE PYTHAGORE:
Le théorème de Pythagore affirme que dans tout triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés:
2 2 2
Z = X + Y
2 2 2 Z = X + Y
Une démonstration parmi d'autres:
Une démonstration valable pour une infinité de triangles rectangles!
Alors que sa vérification est en fait impossible! Il faudrait d'une part, pouvoir dessiner un triangle rectangle parfait (c'est-à-dire possédant exactement un angle droit et des côtés d'épaisseur nulle, alors que la démonstration peut se contenter d'une figure approximative
) et d'autre part être capable de faire des mesures et des calculs d'une précision
infinie. Enfin, cette vérification pour un triangle particulier ne prouverait rien en ce qui concerne
tous les autres -une infinité- 
...
[Pour le plaisir, voir les élucubrations de ChatGPT relatives au théorème de Pythagore.]
AUJOURD'HUI, LES MATHEMATIQUES PURES SEMBLENT PUISER QUASIMENT TOUTE LEUR INSPIRATION DANS DES PROBLEMES DECONNECTES DU "REEL":
- Faire de la recherche (en Mathématiques): C'est se poser de bonnes questions puis tenter d'y répondre...
- Quelques problèmes "élémentaires" (à formuler...) dits ouverts et donc à l'état de conjectures:
La conjecture de Syracuse (Lothar Collatz 1928):
l'observation simple suivante a été faite et répétées ensuite
de nombreuses fois grace aux ordinateurs.
Partant d'un entier N quelconque, s'il est pair, on le divise par 2 (N/2) et dans le cas contraire
(il est donc impair), on le multiplie par 3 et on ajoute 1 (3xN+1).
Ce processus est ensuite répété sur le nouveau nombre obtenu.
Beaucoup de nombres entiers ont donc pu être testés (mais si peu par rapport à l'infini!)
et il apparait que l'on arrive systématiquement
à la suite {4,2,1} qui se répète ensuite indéfiniment.
si N est Pair : [P] N --> N/2si N est Impair : [I] N --> 3xN+1
Ainsi, par exemple, partant de 12, on obtient:
12 \ P \ 12/2 = 6 3x3+1 = 10 3x5+1 = 16 \ / \ / \ P I P I P \ / \ / \ 6/2 = 3 10/2 = 5 16/2 = 8 \ P \ 8/2 = 4 <----------------------------- \ | P | \ | 4/2 = 2 3x1+1 = 4 \ / P I \ / 2/2 = 1
Mais cela est-il vrai pour tous les nombres entiers?
On peut remarquer qu'au cours de ce processus, on obtient plus de nombres pairs que de nombres impairs. En effet, d'une part lorsque N est impair 3xN+1 est pair. D'autre part, si N est pair, N/2 est pair avec une probabilité égale à 1/2. Il doit donc y avoir environ trois nombres pairs pour un nombre impair...
Notons de plus que la notion de contre-exemple n'a pas de sens ici puisqu'il est certainemment possible de rencontrer des séquences de longueurs arbitraires et donc ne pas tomber sur {4,2,1} en un temps raisonnable ne prouve pas qu'en poursuivant le processus aussi longtemps que possible cette séquence n'apparaitra pas...
La conjecture des nombres premiers jumeaux (fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-):
Il y a une infinité de nombres entiers, il y a une infinité de nombres premiers.
Mais y-a-t'il une infinité de nombres premiers jumeaux?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... INFINI |__|__| |____| |____| |____|
{3,5}, {5,7}, {11,13}, {17,19}, {29,31},... INFINI?
Pour cette conjecture l'ordinateur n'est a priori que de peu d'utilité car, en effet, d'une part les ordinateurs n'ont qu'une capacité finie (même si elle peut être phénoménale...) et ils ne peuvent donc manipuler l'ensemble infini des nombres premiers. D'autre part, la notion de contre-exemple n'a pas de sens ici (une longue absence de couples de nombres premiers jumeaux ne prouverait évidemment pas que cette absence se poursuit indéfiniment: l'absence de preuve n'est pas la preuve de l'absence...).
Et qu'en est-il des "nombres premiers triplés" (et au-delà...)?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... INFINI |__|__|
{3,5,7},... INFINI?
La conjecture de Goldbach (Christian Goldbach et Leonhard Euler -1742-, fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-): Tout nombre pair strictement supérieur à 2 serait, au moins d'une façon, la somme de deux nombres premiers.
4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 3+5 [= 5+3] 10 = 3+7 = 5+5 [= 7+3] (...) 990 = 7+983 = 13+977 = 19+971 = 23+967 = 37+953 = 43+947 = 53+937 = 61+929 = 71+919 = 79+911 = 83+907 = 103+887 = 107+883 = 109+881 = 113+877 = 127+863 = 131+859 = 137+853 = 151+839 = 163+827 = 167+823 = 179+811 = 181+809 = 193+797 = 229+761 = 233+757 = 239+751 = 251+739 = 257+733 = 263+727 = 271+719 = 281+709 = 307+683 = 313+677 = 317+673 = 331+659 = 337+653 = 347+643 = 349+641 = 359+631 = 373+617 = 383+607 = 389+601 = 397+593 = 419+571 = 421+569 = 433+557 = 443+547 = 449+541 = 467+523 = 487+503 = 491+499 [= 499+491 = 503+487 = 523+467 = 541+449 = 547+443 = 557+433 = 569+421 = 571+419 = 593+397 = 601+389 = 607+383 = 617+373 = 631+359 = 641+349 = 643+347 = 653+337 = 659+331 = 673+317 = 677+313 = 683+307 = 709+281 = 719+271 = 727+263 = 733+257 = 739+251 = 751+239 = 757+233 = 761+229 = 797+193 = 809+181 = 811+179 = 823+167 = 827+163 = 839+151 = 853+137 = 859+131 = 863+127 = 877+113 = 881+109 = 883+107 = 887+103 = 907+83 = 911+79 = 919+71 = 929+61 = 937+53 = 947+43 = 953+37 = 967+23 = 971+19 = 977+13 = 983+7] (...)
Nota: 990 est le nombre pair inférieur à 1000 possédant le plus de décompositions (104).
Contrairement aux conjectures de Syracuse et des nombres premiers jumeaux, en ce qui concerne celle de Goldbach, l'ordinateur pourrait permettre de trouver un contre-exemple (c'est-à-dire un nombre pair non décomposable additivement). Mais s'il en existe un, la probabilité pour qu'il nous soit accessible est quasiment nulle (en fait tous les nombres entiers sont énormes voire inimaginables, sauf évidemment les premiers: ceux que l'on utilise dans la vie courante...).
Le nombre d de décompositions possibles d'un entier donné n est une fonction "statistiquement croissante" d=f(n) a priori inconnue. Cette dernière peut prendre a priori n'importe quelle valeur entre 1 et n/(2*log(n)) [voir le théorème d'Hadamard et de la Vallée Poussin relatif à la densité des nombres premiers]. Alors si 1, 2, 3,... sont des valeurs possibles, pourquoi 0 ne le serait pas aussi (et si tel était le cas, cela invaliderait la conjecture...)? Il semble que la situation serait "plus simple" si f(n) n'avait qu'une valeur possible: 1, mais de toute évidence ce n'est pas le cas...
- Les vingt-trois problèmes de David Hilbert (second Congrès International des Mathématiciens, Paris, août 1900). Des problèmes "plus difficiles" (à expliquer), plusieurs d'entre-eux n'étant toujours pas résolus et par exemple:
L'hypothèse de Riemann (Bernhard Riemann 1859, fait partie du huitième problème de Hilbert).
HC, l'Hypothèse du Continu (Georg Cantor ~1890, premier problème de Hilbert):
- Deux ensembles (finis ou infinis) ont la même taille (ou cardinal) s'il existe une bijection entre-eux.
- Un ensemble E a donc la même taille que N (ensemble infini des entiers)
s'il est possible de numéroter (1, 2, 3, 4,...)
les éléments de E. Ainsi, par exemple:
- Il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers:
Nombres Pairs 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...) - Il y a autant de nombres premiers que de nombres entiers:
Nombres Premiers 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...) - Il y a autant de nombres rationnels positifs que de nombres entiers:
Numérateur
+
Dénominateur2
3
34 4 4
5
5
5
56 6 (...) Nombres Rationnels positifs
(avant simplification)1/1
---2/1 1/2
===1/3 2/2
---3/1 4/1 3/2 2/3 1/4 1/5 2/4
===(...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...)
Nota: L'utilisation de l'arbre de Stern Brocot permet d'éviter la simplification:
.
Nombres Rationnels positifs
(après simplification)1/1 2/1 1/2 1/3 3/1 4/1 3/2 2/3 1/4 1/5 5/1 5/2 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...)
et il y a donc autant de nombres rationnels que de nombres entiers:
Nombres Rationnels +1/1 -1/1 +2/1 -2/1 +1/2 -1/2 +1/3 -1/3 +3/1 -3/1 +4/1 -4/1 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...) - Il y a autant de nombres algébriques (définis comme étant les solutions réelles d'équations polynomiales à coefficients entiers) que de nombres entiers.
Nota: Le nombre algébrique le plus connu est phi, le nombre d'or, qui est la solution positive de l'équation du second degré x2-x-1=0. - Mais il est impossible de numéroter les nombres réels dans [0,1[ (et donc a fortiori dans R) -un raisonnement par l'absurde-... Il y a donc (beaucoup, énormément,...) plus de nombres réels que de nombres entiers!
- R1, R2,... Rn,... ont même cardinal.
- Il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers:
- Georg Cantor (~1890): il n'y a pas de cardinal entre celui de N (les nombres entiers) et celui de R (les nombres réels).
C'est l'Hypothèse du Continu (HC).
Définition de l'ensemble des parties d'un ensemble donné.
- Kurt Gödel (1938): la négation de HC ne peut être démontrée dans le cadre de la théorie standard des ensembles (ZFC -Zermelo, Frankel, axiome du Choix-).
- Paul Cohen (1963): HC ne peut être démontrée dans ZFC.
- HC est donc un indécidable de ZFC: de nouveaux axiomes doivent donc être introduits (mais lesquels?). Pour Hugh Woodin -le plus grand spécialiste actuel du sujet-, HC est vraie...
- Il y a plusieurs géométries reposant chacune sur une version différente de l'axiome dit des parallèles et c'est aux physiciens de choisir celle qui leur convient. Mais pour résoudre HC, quel(s) axiome(s) ajouter à ZFC sachant qu'aucun n'est ni "naturel" ni évident et que certains impliqueront que HC est vraie alors que pour d'autres elle est fausse? Cela conduira-t-il à plusieurs théories des ensembles -un multivers ensembliste-? Et si oui, étant donné qu'il s'agit-là des fondations des Mathématiques, y aurait-il plusieurs Mathématiques? Et si oui, qu'en est-il de l'affirmation "galiléenne" faisant des Mathématiques LE langage de la nature?
- De rares exceptions:
- Les équations de Navier-Stokes de la Mécanique des fluides (Henri Navier et George Stokes, XIXe siècle) figurent parmi les sept problèmes du millénaire de la Fondation Clay (2000).
De PYTHAGORE (-VIe siècle) à SIR ANDREW WILES (1994), en passant par DIOPHANTE d'ALEXANDRIE (IIIe siècle), CLAUDE GASPARD BACHET de MEZIRIAC et PIERRE de FERMAT (XVIIe siècle):
- Le théorème de Pythagore.
2 2 2 Z = X + Y
- Les équations diophantiennes. L'équation:
a une infinité de solutions entières {X,Y,Z} et, par exemple, la plus fameuse d'entre-elles:2 2 2 X + Y = Z
ou encore:2 2 2 3 + 4 = 52 2 2 5 + 12 = 132 2 2 6 + 8 = 102 2 2 8 + 15 = 172 2 2 9 + 12 = 152 2 2 12 + 16 = 20(...)
- Le grand "théorème" de Fermat. L'équation:
n'a pas de solutions entières {X,Y,Z} pour n=0 et n>2.n n n X + Y = Z {X,Y,Z,n} ∈ N X.Y.Z # 0 - Le chemin parcouru peut être plus enrichissant que la destination elle-même.
- Des applications a posteriori: Courbes elliptiques (conjecture Shimura-Taniyama-Weil démontrée en grande partie par Andrew Wiles) et cryptographie,...
