• Le Physicien est un observateur : le sens de la vision à l'origine de la curiosité scientifique (les régularités, les symétries, les invariances,...). Que serait notre Science sans nos yeux ?





• Le Physicien est un arpenteur : l'acte premier et fondamental de la mesure.





• Le Physicien est un explorateur de l'Univers, du Multivers,...





• La Physique aujourd'hui :

  
  
  

        +26
  8.8 10    mètres
  

  
  

  L'Univers observable et au-delà...

  Les étoiles et les systèmes planétaires.

  Turbulence et Chaos.

  La Nature et la Vie, la Terre est notre Berceau.

  La Complexité émergeant du Chaos.

  Molécules, Atomes et Particules Elémentaires.

  
  

        -19
  2.0 10    mètre
  

  
  

  Terra Incognita (Mathematica ?)...
  

  
  

  L'Espace-Temps, l'Echelle de Planck et au-delà...

  
  

        -35
  1.6 10    mètre
  

• Mathématiques : du grec Mathêma (science, connaissance).








• Que sont donc les Mathématiques ?
  
  
  
  1- Un jeu de l'esprit (sans en chercher d'interprétations ou encore d'applications) ?
  
  
  
  
  
  2- Un ensemble d'analogies (la Géométrie Fractale en donne des exemples) ?
  
  
  
  
  
  3- Un outil de compression de mesures, la régularité impliquant la compressibilité (la compression JPEG des images -les images naturelles n'étant pas aléatoires- ou encore les lois de Kepler illustrent cela) ? Cela provoquant l'émergence de lois en sautant d'un niveau de description N au niveau N+1 : c'est, par exemple, le cas en passant du mouvement d'un nombre énorme de molécules aux "simples" lois de la Thermodynamique et à des notions macroscopiques comme la température (voir la notion d'entropie).
  
  Le Rasoir d'Occam joue alors un rôle essentiel :
  
  

                      Soit la suite {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32}. Quel modèle la décrit le plus "économiquement" ?
  

  
  

                      M1 - Calcul des entiers naturels pairs                                             : {n | n=0 ; {n=n+2} ; n<=30},
                      M2 - Calcul du double des entiers naturels                                         : {s | n=0 ; {s=2*n ; n=n+1} ; n<=15},
                      M3 - Calcul de la partie entière d'un certain polynôme P(n)                        : {PartieEntière(P(n)) | n=0 ; {P(n)=2*n + 0.004*n2 ; n=n+1} ; n<=15},
                      (...)
                      Mi - Calcul de la valeur absolue des zéros triviaux de la fonction Zêta de Riemann : {mod(z) | Zeta(z)=0, Im(z)=0},
                      (...)
  

  
  

                      M1 est le modèle à privilégier comme étant le plus simple.
  

  
  
  
  
  
  4- LE langage de l'Univers, d'hier (Galilée, XVI-XVIIe siècles) à aujourd'hui ?
  
  
  
  
  
  5- Un peu tout cela à la fois ?
  
  
  
  
  
  6- Ou bien tout autre chose : les Mathématiques seraient-elles une "approximation" de la Physique -c'est-à-dire de notre connaissance de la Réalité- ?
  
  
  
  
  
  7- Ou "pire" : les Mathématiques seraient-elles LA Réalité (Max Tegmark, MIT) ?








• La Physique semble être la même aux "quatre coins de l'Univers", mais est-ce aussi le cas des Mathématiques ?




• Le Mathématicien : créateur (celui qui tire du néant...) ou explorateur (celui qui parcourt en observant) ou bien les deux à la fois ?
  
  
  
  • "Les Mathématiques sont-elles semblables à l'Amérique du Nord (qui existe a priori indépendamment de l'Homme) ou bien à New York (qui n'existerait pas sans l'Homme) ?"
  
  
  
  
  
  • S'il est créateur, pourquoi cette redoutable efficacité des Mathématiques (Eugène Wigner -prix Nobel de Physique 1963-, 1960) ?
  
  
  
  
  
  • S'il est explorateur, où sont-elles et comment y accède-t-il (ces questions ne sont pas plus embarassantes que celles de savoir où est notre Univers, où est notre Multivers !) ?
  
  
  
  
  
  • Des "atomes" mathématiques universels aux "molécules" mathématiques anthropiques ("Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme", Leopold Kronecker, 1891) ?
  
  
  
  
  
  • Un contact avec d'hypothétiques intelligences extra-terrestres permettrait peut-être de nous éclairer sur ce sujet : les "martiens" font-ils des Mathématiques ?




• Les Mathématiques peuvent-elles répondre à toutes les questions ?
  
  
  • Dans le cas où les Mathématiques ne sont pas notre création, "qui" en est à l'origine et où sont-elles ?
  
  
  • Pourquoi quelque chose plutot que rien ?
  
  
  • Qu'est-ce que la non existence ?
  
  
  • Dieu existe-t-il ?
  
  
  • Qu'est-ce que le beau ?
  
  
  • etc...





• Que pensez de l'arbitraire des axiomes ou encore de l'incomplétude de Kurt Gödel (il existe des propositions dont on ne peut dire ni si elles sont vraies, ni si elles sont fausses : l'Hypothèse du Continu (HC) en est un bon exemple ?)




• Les Mathématiques sont aussi le langage de l'industrie (puisqu'elle-même repose sur la Physique, la Chimie,...) :
  
  
  • L'informatique et les ordinateurs.
  
  
  • La téléphonie mobile.
  
  
  • La photographie numérique.
  
  
  • Le GPS -reposant sur les trois piliers de la physique contemporaine : la Relativité Restreinte, la Relativité Générale et la Mécanique Quantique-.
  
  
  • La conception et les tests (aérodynamiques, écologiques, de consommation, de résistance,...) dans les industries de l'automobile, de l'aéronautique, de l'espace,...
  
  
  • etc...

• On ne peut échapper au sentiment que ces formules mathématiques ont une existence qui leur est propre, qu'elles sont plus savantes que ceux qui les ont découvertes, et que nous pouvons en extraire plus de science qu'il n'en a été mis à l'origine (Heinrich Hertz, XIXe siècle).





• La gravitation newtonienne :

  
  En 1846, Urbain Le Verrier découvre la planète Neptune grâce à la Mécanique newtonienne.
  
  
  





• La gravitation einsteinienne :

  
  Après avoir publié en 1905 la Théorie de la Relativité Restreinte (ainsi que trois autres articles fondamentaux relatifs à l'effet photoélectrique, au mouvement brownien et à l'équivalence masse-énergie), Albert Einstein publia en 1915 la Théorie de la Relativité Générale qui permettra de montrer (Georges Lemaître) que, contrairement à son intime conviction, l'Univers a une Histoire. Cette prédiction (l'expansion de l'Univers) sera vérifiée quelques années plus tard par l'astronome Edwin Hubble. Aujourd'hui, Andrei Linde propose une structure fractale "multivers" en perpétuelle création-évolution.
  
  
  
  
  
  Une prédiction de nature purement mathématique, celle des ondes gravitationnelles, faite par Albert Einstein dans le cadre de cette théorie, s'est vue confirmée expérimentalement et magistralement un siècle plus tard (LIGO, le 14/09/2015), alors que lui-même était convaincu de l'impossibilité technique de cela...
  
  
  
  
  On notera une différence fondamentale entre la découverte expérimentale de l'expansion de l'Univers et celle des ondes gravitationnelles. La première aurait très bien pu être observée par Edwin Hubble (ou un autre...) en l'absence de la Relativité Générale : en effet, le fait que plus les galaxies sont éloignées de nous, plus elles semblent s'éloigner rapidement est un phénomène "facilement" observable, presque par hasard. Par contre les ondes gravitationnelles sont tellement faibles et noyées dans un tel bruit de fond qu'il aurait été impossible de les découvrir par accident. Ainsi, les ondes gravitationnelles sont l'exemple même d'une découverte qui, sans les Mathématiques, n'aurait pu être faite...
  
  On notera les contributions essentielles de deux physiciens et mathématiciens français : d'une part Thibault Damour pour l'établissement d'un catalogue de signatures d'événements cataclysmiques (fusion de deux trous noirs ou encore d'un trou noir et d'une étoile à neutrons,...). D'autre part Yves Meyer (Prix Abel 2017) pour le traitement du signal (théorie des ondelettes).
  
  Une "petite" remarque au passage : sans la Relativité Générale (sans oublier la Relativité Restreinte et la Mécanique Quantique), pas de GPS !





• L'anti-matière :

  
  En 1930, Paul Dirac annonce l'existence de l'anti-électron grâce à la Mécanique Quantique.
  
  
  





• Prédictions et intuition :

  
  Des prédictions souvent contraires à l'intuition : non localité, intrication et théorème de Bell (Niels Bohr, Albert Einstein et Alain Aspect).





• Une théorie scientifique doit permettre d'expliquer les observations antérieures :





• Mais elle doit aussi être réfutable (Karl Popper) :

  
  Les prédictions doivent être vérifiées par des expériences réelles (et non point par des expériences virtuelles) bien souvent fort délicates, voire impossibles. En voici quelques exemples :
  
  
  • Un espace-temps à onze dimensions ?
    
    
    
  
  
  
  
  • Le Multivers ?
    
    
    
  
  
  
  
  • Après le "Big Bang", le "Big Crunch" ?
    
    
    

• L'honnête homme de Montaigne n'est plus...






• Le physicien pose des problèmes et émet des conjectures.






• Le mathématicien s'attaque formellement à ces problèmes :

  
  
  
  
  Wendelin Werner, Médaille Fields 2006.





• Tel Monsieur Jourdain et la prose, le mathématicien fait parfois (souvent ? toujours ?) de la physique sans le savoir :

  
  
  
  
  
  • Evariste Galois et les groupes,
  
  
  
  • Bernhard Riemann et les variétés éponymes,
  
  
  
  • Les mathématiciens des monstres continus non différentiables (Besicovitch, Cantor, Hausdorff, Hilbert, Lebesgue, Peano, Sierpinski, Weierstrass, von Koch,...).





• Une (LA ?) différence entre les Mathématiques et la Physique :

  
  
  
  
  
  
  L'éternité des vérités des Mathématiques
  
  
  
  
  
  face à la précarité de celles de la Physique.

• Les précurseurs :

  
  
  
  
  
  • John Neper (les logarithmes et la règle à calculs, XVIe-XVIIe siècles),
  
  
  
  • Blaise Pascal (l'addition, XVIIe siècle),
  
  
  
  • Gottfried Wilhelm Leibniz (la multiplication, XVIIe siècle),
  
  
  
  • Jacques de Vaucanson (les automates, XVIIe siècle),
  
  
  
  • Joseph Marie Jacquard (le métier à tisser précurseur des machines programmables -premiers supports perforés : cartes et rubans-, XVIIIe siècle),
  
  
  
  • Charles Babbage et Lady Ada Lovelace (le premier ordinateur -mécanique-, XIXe siècle),
  
  
  
  • etc...





• Les notions d'algorithme, de calculabilité et de machine à calculer programmable :

  
  
  
  
  
  • Le dixième problème de David Hilbert -résolubilité des équations diophantiennes- (1900),
  
  
  
  • Alonzo Church (~1930),
  
  
  
  • Kurt Gödel (1931),
  
  
  
  • Alan Turing (~1930),
  
  
  
  • John von Neumann (~1940),
  
  
  
  • etc...





• Les Mathématiques "expérimentales" :

  
  
  
  
    





• Le traitement de textes mathématiques.







• Les démonstrations et les vérifications assistées par ordinateur.






• Les progrès matériels et logiciels :

  
  
  





• Un rôle de plus en plus (trop ?) important pour l'informatique :

  De je pense donc je suis à je calcule donc je suis ?






• Mais Pythagore, Galilée, Newton, Einstein,... n'avaient pas d'ordinateurs !

Quelques inventions anciennes et révolutionnaires en leur temps :

• Le microscope :
  
  




• Le télescope :
  
  

Les Mathématiques, une fenêtre grande ouverte sur l'Univers et au-delà !

• L'ordinateur joue alors rôle essentiel en effectuant les calculs et en produisant les visualisations, mais ATTENTION ...








• Quelques expériences virtuelles simples de Mécanique Statistique (généraliser pour simplifier, Jacques Hadamard).
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  [Voir d'autres exemples]








• Une expérience de Mécanique Céleste (ou le retour des épicycles):
  
  
  
  
    
  
  
  
  
  
  [Pour avoir plus d'explications]








• D'autres exemples de "vues" offertes par les Mathématiques et qui sont pour certaines en attente de validation (ou d'invalidation...) expérimentale (de l'infiniment petit à l'infiniment grand) :
  
  
  
  • Les dimensions supplémentaires de l'espace-temps ?
    
    
  
  
  
  
  
  
  • Les fluctuations quantiques.
    
    
  
  
  
  
  
  
  • Les superpositions d'états quantiques.
    
    
  
  
  
  
  
  
  • Le mouvement brownien.
    
    
  
  
  
  
  
  
  • Le chaos déterministe : petites causes, grands effets.
    
    
  
  
  
  
  
  
  • L'érosion.
    
    
  
  
  
  
  
  
  • Au cœur du Soleil (connaître la composition chimique du Soleil est l'exemple même d'une connaissance qui sera à jamais inaccessible à l'intelligence humaine, Auguste Comte, 1835).
    
    
  
  
  
  
  
  
  • L'Univers : ses grandes structures, le Big Bang, l'inflation, le Multivers,... ?
    
    

Mais attention au piège du je calcule, donc je suis...

• Un peu d'histoire des Mathématiques et de ses révolutions :

  
  
    
  
  
  
  
  
  
  
  
  Des succès considérables dans tous les domaines :
  
  
     
  
  
  
  
  Et malgré tout, tant de questions sans réponses...





• Quelle est la forme (au sens mathématique du terme...) d'un nuage ?

  
  
    
  
  S'il-vous-plaît... dessine moi un nuage (d'après Antoine de Saint-Exupéry).
  
  
  
  
        
  
        
  
  Les géométries "classiques" ne peuvent répondre à cette question.





• Au XIXe siècle, du continu différentiable au continu non différentiable :

  
  
  Les "monstres" de Weierstrass, Cantor, Peano, von Koch, Sierpinski,... était pour Charles Hermite une plaie lamentable qu'il regardait avec effroi.
  
  
  
  
  La courbe de von Koch et sa construction.
  
  
  
  Deux propriétés extraordinaires :
  
  
  La cohabitation du fini et de l'infini.
  
  
  
  
  L'autosimilarité.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Les courbes remplissantes :
  
  
  Voir d'autres exemples.





• Au XXe siècle, de Benoît Mandelbrot à l'Universalité des fractales (Bernard Sapoval) :

  
  
  Dans la deuxième moitié du XXe siècle, l'ordinateur a joué un rôle important dans l'émergence de la Géométrie Fractale :
  
     
  
  
  Les objets fractals possédent de l'irrégularité et/ou des structures à tous les niveaux et/ou une dimension non entière.





• Formes naturelles et infini (les contraintes de la Nature) :

  
  
        
  Les alvéoles pulmonaires : entre 100 et 200 mètres carrés chez l'être humain (équivalent à l'aire d'une sphère de diamètre compris approximativement entre 6 et 8 mètres !).
  Pour paraphraser Albert Einstein : "Dieu ne joue peut-être pas aux dés, mais il fait très certainement de la Géométrie fractale"...





• Formes naturelles et autosimilarité :

  
  
     
  Les arbres.
  
     
  Les nuages.





• La notion de dimension fractale :

  
  
  Soit K un cube de côté C (supposé entier et strictement supérieur à 1 pour simplifier). Son volume V est défini par :
  
  
  

  V = C3	125 = 53
  || \/	|| \/
  log(V) = 3 * log(C)	log(125) = 3 * log(5)
  || \/	|| \/
  3 = log(V) / log(C)	3 = log(125) / log(5)

  
  
  Mais :
  
  
  • V est aussi le nombre N de cubes unité U contenu dans K (ou nombre de copies),
  • C est aussi le rapport d'homothétie H permettant de passer de U à K,
  • 3 est aussi la dimension D de K.
  
  d'où :
  
  

  D = log(V) / log(C)

  || \/

  D = log(N) / log(H)

  
  
  Cette définition de D peut-être étendue à tout objet et D est alors appelée dimension fractale.
  
  Dans le cas de la courbe de von Koch :
  
  
  
  

                      N=4 (=nombre de copies)
                      H=3 (=rapport d'homothétie)
  

  et ainsi :
  

  D = log(4) / log(3)
  

  Remarque :
  

                      1 < log(4)/log(3) = 1.261859507142915 < 2     ==>     "droite < courbe de von Koch < plan"
  

  
  
  
  
  

  Quelques exemples d'objets classés par ordre de dimensions fractales croissantes :

  
  
  

  0 : un point.	log(2)/log(3)=0.6309297535714574 : l'ensemble triadique de Cantor.	1 : une droite.	log(4)/log(3)=1.261859507142915 : la courbe de von Koch.	4/3=1.333333333333333 : l'enveloppe -en blanc- du mouvement brownien bidimensionnel.
  3.2=1.5 : la courbe de Minkowski.	7/4=1.75 : le front fractal de diffusion bidimensionnel.	log(8)/log(3)=1.892789260714372 : le tapis de Sierpinski.	2: le mouvement brownien bidimensionnel -en couleurs-.	2 : courbe de Hilbert bidimensionnelle.
  2 : un plan.	log(20)/log(3)=2.72683302786084 : l'éponge de Menger.	3 : courbe de Hilbert tridimensionnelle.	3 : l'espace tridimensionnel.






• L'Emergence des Fractales (de l'intérêt des images !) :

  
  
  
  • En Mathématiques :
    
            
  
  
  
  • En Physique :
    
    





• La Géométrie Fractale déterministe (Gaston Julia, Pierre Fatou, Benoît Mandelbrot, Adrien Douady, John Hubbard, Jean-Christophe Yoccoz,... XXe siècle) :

  
  
                       





• La Géométrie Fractale non déterministe (Benoît Mandelbrot ~1960) :

  
  
                            





• Les difficultés et les problèmes :








• Demain : du continu non différentiable au NON CONTINU NON DIFFÉRENTIABLE (voir en particulier le problème des erreurs d'arrondi dans nos ordinateurs) ?






• Les fractales et l'art :

  
  
    


[Plus d'informations sur Arts et Mathématiques, Mathématiques et Arts]




• La Réalité (et la Science donc...) serait-elle la Fractale Ultime?

  Souvenons-nous des annonces de Lord Kelvin à la fin du XIXe siècle, quelques années avant la Mécanique Quantique et les Relativités -Restreinte et Générale- : Il n'y a plus rien à découvrir en physique aujourd'hui, tout ce qui reste est d'améliorer la précision des mesures...





• En résumé :

  • La Géométrie Fractale est un langage commun qui unifie en quelque sorte :
    
    
    • Les probabilités,
    • Les itérations,
    • Les interfaces.
  
  
  
  • La Géométrie Fractale introduit une nouvelle invariance :
    
    
    • L'invariance d'échelle
    
    
    à côté de :
    
    
    • L'invariance par translation dans l'espace -conservation de la quantité de mouvement-,
    • L'invariance par translation dans le temps -conservation de l'énergie-,
    • L'invariance par rotation -conservation du moment cinétique-.
  
  
  
  • Une propriété fondamentale des objets fractals :
    
    La cohabitation de mesures à la fois finie et infinie que cette géométrie permet (ce qu'illustre parfaitement notre système respiratoire ...). Et c'est certainement l'explication de son omniprésence dans la nature. On pourrait donc, pour plaisanter, compléter l'affirmation d'Albert Einstein "Dieu ne joue pas aux dés", en ajoutant "mais il fait certainement de la Géométrie Fractale"...

• Nous ne percevons pas, nous ne voyons pas toute la Réalité. Nous ne pouvons donc pas TOUT comprendre...




• De l'arbitraire des axiomes.




• L'incomplétude des Mathématiques (et donc de la Physique ?), suite aux travaux de Kurt Gödel (premier et second théorèmes d'incomplétude -le premier étant basé sur une auto-réfèrence logique du type 'je mens' et sur le codage numérique des propositions mathématiques-). Un très bel exemple (le plus beau ?) de proposition indécidable est l'Hypothèse du Continu.




• Du rôle essentiel des images.




• La difficulté, voire l'impossibilité de construire des représentations "naturelles" et uniques des objets étudiés. Des questions difficiles, voire insensées :
  
  
  
  • Peut-on représenter l'infiniment petit ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Peut-on représenter les grands nombres, voire l'infiniment grand ? Si le fini peut être impossible à visualiser, quid de l'infini, des infinis ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Comment représenter les objets mathématiques, même les plus élémentaires ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • ==> Comment représenter des objets N-dimensionnels (N>2) ?
    ==> en faisant des coupes, des rotations,...
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Quelle est la forme, quelle est la couleur d'une particule élémentaire ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • ==> Peut-on toujours respecter les échelles ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Peut-on visualiser l'Univers en se plaçant en quelque sorte "à l'extérieur" -sur cette image, la vitesse de la lumière est infinie et ainsi la durée écoulée depuis le Big Bang pour l'arrière-plan est la même que pour le premier plan- ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • ==> Comment trouver le bon point de vue ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • ==> Comment éviter les mauvais points de vue ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Quelle est la couleur des nombres (à question stupide, réponse arbitraire...) ? Quelle est la couleur d'un champ scalaire ?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Ne pas négliger les illusions d'optique !
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Des réponses arbitraires, partielles, voire fausses, qui peuvent dissimuler ce qui est et révéler ce qui n'est pas...




• La Programmation : entre Art et Bricolage, bien loin de la rigueur des démonstrations, mais des conseils éventuellement pragmatiques peuvent être donnés afin d'améliorer les choses (voir cet exemple en C -résolvant un bien étrange problème- et d'autres encore)...




• L'impossibilité de manipuler les nombres réels dans un ordinateur ("l'infini au quotidien...") :
  
  
  • Un exemple merveilleux, simple et naïf avec itérations en C. Le même exemple sans itérations (pour des raisons de simplicité) en C, en Fortran 95 ou encore en Python.
  
  
  
  • Quelques conséquences et d'autres encore.
  
  
  
  • La réversibilité du temps propre à de très nombreuses équations de la Physique peut être perdue lors de leur traitement numérique.
  
  
  
  • Pourquoi les nombres réels sont-ils indispensables à la physique ? Uniquement pour obtenir des équations différentielles ? Mais alors, quel sens cela a-t-il de faire tendre vers zéro une grandeur physique et par exemple une longueur pour laquelle l'échelle de Planck est infranchissable ?
  
  
  
  • XXIe siècle : du continu non différentiable au non continu non différentiable ?




• Les Chaos Virtuels :
  
  
  • numérique :
    
    
  
  
  
  • subjectif :
    
    




• La Grande Bibliothèque d'Alexandrie revisitée :
  
  
  • Notre patrimoine se numérise irréversiblement.
  
  
  
  • De la pérennité (par duplication et dispersion) à l'ubiquité et à la vulnérabilité.