- Il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers:
Nombres Pairs 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...) - Il y a autant de nombres premiers que de nombres entiers:
Nombres Premiers 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...) - Il y a autant de nombres rationnels positifs que de nombres entiers:
Numérateur
+
Dénominateur2
3
34 4 4
5
5
5
56 6 (...) Nombres Rationnels positifs
(avant simplification)1/1
---2/1 1/2
===1/3 2/2
---3/1 4/1 3/2 2/3 1/4 1/5 2/4
===(...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...)
Nota: L'utilisation de l'arbre de Stern Brocot permet d'éviter la simplification:
.
Nombres Rationnels positifs
(après simplification)1/1 2/1 1/2 1/3 3/1 4/1 3/2 2/3 1/4 1/5 5/1 5/2 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...)
et il y a donc autant de nombres rationnels que de nombres entiers:
Nombres Rationnels +1/1 -1/1 +2/1 -2/1 +1/2 -1/2 +1/3 -1/3 +3/1 -3/1 +4/1 -4/1 (...) | | | | | | | | | | | | | Nombres Entiers
(Numéros)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (...) - Il y a autant de nombres algébriques (définis comme étant les solutions réelles d'équations polynomiales à coefficients entiers) que de nombres entiers.
Nota: Le nombre algébrique le plus connu est phi, le nombre d'or, qui est la solution positive de l'équation du second degré x2-x-1=0. - Mais il est impossible de numéroter les nombres réels dans [0,1[ (et donc a fortiori dans R) -un raisonnement par l'absurde-... Il y a donc (beaucoup, énormément,...) plus de nombres réels que de nombres entiers!
- R1, R2,... Rn,... ont même cardinal.
Définition de l'ensemble des parties d'un ensemble donné.
- Kurt Gödel (1938): la négation de HC ne peut être démontrée dans le cadre de la théorie standard des ensembles (ZFC -Zermelo, Frankel, axiome du Choix-).
- Paul Cohen (1963): HC ne peut être démontrée dans ZFC.
- HC est donc un indécidable de ZFC: de nouveaux axiomes doivent donc être introduits (mais lesquels?). Pour Hugh Woodin -le plus grand spécialiste actuel du sujet-, HC est vraie...
- Il y a plusieurs géométries reposant chacune sur une version différente de l'axiome dit des parallèles et c'est aux physiciens de choisir celle qui leur convient. Mais pour résoudre HC, quel(s) axiome(s) ajouter à ZFC sachant qu'aucun n'est ni "naturel" ni évident et que certains impliqueront que HC est vraie alors que pour d'autres elle est fausse? Cela conduira-t-il à plusieurs théories des ensembles -un multivers ensembliste-? Et si oui, étant donné qu'il s'agit-là des fondations des Mathématiques, y aurait-il plusieurs Mathématiques? Et si oui, qu'en est-il de l'affirmation "galiléenne" faisant des Mathématiques LE langage de la nature?
