LA CONJECTURE DE SYRACUSE :



L'observation simple suivante a été faite et répétées ensuite de nombreuses fois grace aux ordinateurs : partant d'un entier N quelconque, s'il est pair, on le divise par 2 (N/2) et dans le cas contraire (il est donc impair), on le multiplie par 3 et on ajoute 1 (3xN+1). Ce processus est ensuite répété sur le nouveau nombre obtenu. Beaucoup de nombres entiers ont donc pu être testés (mais si peu par rapport à l'infini !) et il apparait que l'on arrive systématiquement à la suite {4,2,1} qui se répète ensuite indéfiniment. 

                    
                    si N est Pair   : [P] N --> N/2


                    
                    si N est Impair : [I] N --> 3xN+1



Ainsi, par exemple, partant de 12, on obtient : 


                    
                    12
                      \
                       P
                        \
                         12/2 = 6             3x3+1 = 10              3x5+1 = 16
                                 \           /          \            /          \
                                  P         I            P          I            P
                                   \       /              \        /              \
                                    6/2 = 3                10/2 = 5                16/2 = 8
                                                                                           \
                                                                                            P
                                                                                             \
                                                                                              8/2 = 4 <-----------------------------
                                                                                                     \                              |
                                                                                                      P                             |
                                                                                                       \                            |
                                                                                                        4/2 = 2             3x1+1 = 4
                                                                                                               \           /
                                                                                                                P         I
                                                                                                                 \       /
                                                                                                                  2/2 = 1


Mais est-il vrai que pour tous les nombres entiers on aboutit inexorablement à la séquence {4,2,1} qui se répète ensuite ad infinitum ?

On peut remarquer qu'au cours de ce processus, on obtient plus de nombres pairs que de nombres impairs. En effet, d'une part lorsque N est impair 3xN+1 est pair. D'autre part, si N est pair, N/2 est pair avec une probabilité égale à 1/2. Il doit donc y avoir environ trois nombres pairs pour un nombre impair...

Notons de plus que la notion de contre-exemple n'a pas de sens ici puisqu'il est certainemment possible de rencontrer des séquences de longueurs arbitraires et donc ne pas tomber sur {4,2,1} en un temps raisonnable ne prouve pas qu'en poursuivant le processus aussi longtemps que possible cette séquence n'apparaitra pas...



















LA CONJECTURE DE SYRACUSE :






Jean-François COLONNA
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