La conjecture de Syracuse (Lothar Collatz 1928):
l'observation simple suivante a été faite et répétées ensuite
de nombreuses fois grace aux ordinateurs.
Partant d'un entier N quelconque, s'il est pair, on le divise par 2 (N/2) et dans le cas contraire
(il est donc impair), on le multiplie par 3 et on ajoute 1 (3xN+1).
Ce processus est ensuite répété sur le nouveau nombre obtenu.
Beaucoup de nombres entiers ont donc pu être testés (mais si peu par rapport à l'infini!)
et il apparait que l'on arrive systématiquement
à la suite {4,2,1} qui se répète ensuite indéfiniment.
si N est Pair : [P] N --> N/2si N est Impair : [I] N --> 3xN+1
Ainsi, par exemple, partant de 12, on obtient:
12 \ P \ 12/2 = 6 3x3+1 = 10 3x5+1 = 16 \ / \ / \ P I P I P \ / \ / \ 6/2 = 3 10/2 = 5 16/2 = 8 \ P \ 8/2 = 4 <----------------------------- \ | P | \ | 4/2 = 2 3x1+1 = 4 \ / P I \ / 2/2 = 1
Mais cela est-il vrai pour tous les nombres entiers?
On peut remarquer qu'au cours de ce processus, on obtient plus de nombres pairs que de nombres impairs. En effet, d'une part lorsque N est impair 3xN+1 est pair. D'autre part, si N est pair, N/2 est pair avec une probabilité égale à 1/2. Il doit donc y avoir environ trois nombres pairs pour un nombre impair...
Notons de plus que la notion de contre-exemple n'a pas de sens ici puisqu'il est certainemment possible de rencontrer des séquences de longueurs arbitraires et donc ne pas tomber sur {4,2,1} en un temps raisonnable ne prouve pas qu'en poursuivant le processus aussi longtemps que possible cette séquence n'apparaitra pas...
La conjecture des nombres premiers jumeaux (fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-):
Il y a une infinité de nombres entiers, il y a une infinité de nombres premiers.
Mais y-a-t'il une infinité de nombres premiers jumeaux?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... INFINI |__|__| |____| |____| |____|
{3,5}, {5,7}, {11,13}, {17,19}, {29,31},... INFINI?
Pour cette conjecture l'ordinateur n'est a priori que de peu d'utilité car, en effet, d'une part les ordinateurs n'ont qu'une capacité finie (même si elle peut être phénoménale...) et ils ne peuvent donc manipuler l'ensemble infini des nombres premiers. D'autre part, la notion de contre-exemple n'a pas de sens ici (une longue absence de couples de nombres premiers jumeaux ne prouverait évidemment pas que cette absence se poursuit indéfiniment: l'absence de preuve n'est pas la preuve de l'absence...).
Et qu'en est-il des "nombres premiers triplés" (et au-delà...)?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... INFINI |__|__|
{3,5,7},... INFINI?
La conjecture de Goldbach (Christian Goldbach et Leonhard Euler -1742-, fait partie du huitième problème de Hilbert -1900-): Tout nombre pair strictement supérieur à 2 serait, au moins d'une façon, la somme de deux nombres premiers.
4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 3+5 [= 5+3] 10 = 3+7 = 5+5 [= 7+3] (...) 990 = 7+983 = 13+977 = 19+971 = 23+967 = 37+953 = 43+947 = 53+937 = 61+929 = 71+919 = 79+911 = 83+907 = 103+887 = 107+883 = 109+881 = 113+877 = 127+863 = 131+859 = 137+853 = 151+839 = 163+827 = 167+823 = 179+811 = 181+809 = 193+797 = 229+761 = 233+757 = 239+751 = 251+739 = 257+733 = 263+727 = 271+719 = 281+709 = 307+683 = 313+677 = 317+673 = 331+659 = 337+653 = 347+643 = 349+641 = 359+631 = 373+617 = 383+607 = 389+601 = 397+593 = 419+571 = 421+569 = 433+557 = 443+547 = 449+541 = 467+523 = 487+503 = 491+499 [= 499+491 = 503+487 = 523+467 = 541+449 = 547+443 = 557+433 = 569+421 = 571+419 = 593+397 = 601+389 = 607+383 = 617+373 = 631+359 = 641+349 = 643+347 = 653+337 = 659+331 = 673+317 = 677+313 = 683+307 = 709+281 = 719+271 = 727+263 = 733+257 = 739+251 = 751+239 = 757+233 = 761+229 = 797+193 = 809+181 = 811+179 = 823+167 = 827+163 = 839+151 = 853+137 = 859+131 = 863+127 = 877+113 = 881+109 = 883+107 = 887+103 = 907+83 = 911+79 = 919+71 = 929+61 = 937+53 = 947+43 = 953+37 = 967+23 = 971+19 = 977+13 = 983+7] (...)
Nota: 990 est le nombre pair inférieur à 1000 possédant le plus de décompositions (104).
Contrairement aux conjectures de Syracuse et des nombres premiers jumeaux, en ce qui concerne celle de Goldbach, l'ordinateur pourrait permettre de trouver un contre-exemple (c'est-à-dire un nombre pair non décomposable additivement). Mais s'il en existe un, la probabilité pour qu'il nous soit accessible est quasiment nulle (en fait tous les nombres entiers sont énormes voire inimaginables, sauf évidemment les premiers: ceux que l'on utilise dans la vie courante...).
Le nombre d de décompositions possibles d'un entier donné n est une fonction "statistiquement croissante" d=f(n) a priori inconnue. Cette dernière peut prendre a priori n'importe quelle valeur entre 1 et n/(2*log(n)) [voir le théorème d'Hadamard et de la Vallée Poussin relatif à la densité des nombres premiers]. Alors si 1, 2, 3,... sont des valeurs possibles, pourquoi 0 ne le serait pas aussi (et si tel était le cas, cela invaliderait la conjecture...)? Il semble que la situation serait "plus simple" si f(n) n'avait qu'une valeur possible: 1, mais de toute évidence ce n'est pas le cas...
L'hypothèse de Riemann
HC, l'Hypothèse du Continu
Définition de l'ensemble des parties d'un ensemble donné