S'il-vous-plaît... dessine moi l'infini (d'après Antoine de Saint-Exupéry) :
Voyages de l'infiniment petit à l'infiniment grand
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France
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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 16/11/2023 et mise à jour le 03/10/2024 17:20:16 -CEST-)
Résumé : Grâce aux travaux de Georg Cantor, l'univers vertigineux des infinis s'est ouvert aux mathématiciens.
Mais est-il pour autant accessible, voire visualisable et si les Mathématiques sont bien LE langage de la Nature correspond-il à tout ou partie de la Réalité ?
Un voyage de l'échelle de Planck à l'hypothétique Multivers,
suivi d'une présentation de la Géométrie Fractale
nous offriront des éléments de réponses tout en images à ces interrogations.
Plan de ce document :
1-MATHEMATIQUES ET INFINIS :
1.3-L'UNIVERS VERTIGINEUX DES INFINIS DE GEORG CANTOR :
Dans la deuxième moitié du dix-neuvième siècle, Georg Cantor fut l'un des fondateurs
de la théorie des ensembles en s'interrogeant en particulier sur l'infini.
La notion de bijection 
entre deux ensembles est ici fondamentale : on dira que deux ensembles
ont le même cardinal ("ont la même taille") s'il existe une bijection entre eux.
Et c'est ainsi que paradoxalement, les ensembles
des nombres pairs,
des nombres premiers,
des nombres rationnels,
des nombres algébriques,...
sont en bijection avec N.
Grâce à la notion
d'ensemble des parties 
(c'est-à-dire l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné),
il montra qu'il n'y avait pas un infini, mais une infinité !
Le plus petit infini est celui de l'ensemble des nombres entiers (N) : le dénombrable.
Mais par une
démonstration par l'absurde d'une étonnante simplicité,
il montra qu'il n'en était pas de même avec l'ensemble des nombres réels (R) :
R n'est pas dénombrable (le continu).
Et au-delà de R il y a une infinité d'ensembles toujours plus énormes obtenus, par exemple, en
itérant la définition P d'ensemble des parties : {E,P(E),P(P(E)),...}.
Savoir s'il existe des ensembles de taille intermédiaire entre N et R est (malheureusement...) un
indécidable (appelé l'Hypothèse du Continu)
de la théorie ZFC (Zermelo, Fraenkel et axiome du Choix) des ensembles...
Mais malgré cela, Georg Cantor a démontré
que R, R2,... Rn,... avaient même cardinal
permettant par là-même la définition de courbes dites remplissantes.
2-PHYSIQUE ET INFINI :
3-L'INFINI AU QUOTIDIEN :
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