UNE LISTE DE SYMBOLES:
- A B C D E F...
- a b c d e f...
- α β γ δ ε ζ...
- 0 1 2 3 4 5...
- + - * / = ()...
- etc...
LA LOGIQUE DES PREDICATS (ou CALCUL DES PREDICATS DU PREMIER ORDRE):
- Un langage formalisé universel, simple et suffisant pour permettre l'expression de TOUS les concepts mathématiques.
- Des constantes et des variables.
- Les foncteurs: "non", "et", "ou", "implique" et "équivalent".
- Deux quantificateurs: "il existe" et "pour tout".
- Des prédicats, c'est-à-dire des propriétés dont la vérité dépend d'une ou
plusieurs variables. Par exemple:
PAIR(x) est VRAI si 'x' est un entier pair et FAUX dans les autres cas.
- Une syntaxe qui permet d'écrire des propositions (VRAIES ou FAUSSES).
- Toute proposition est soit VRAIE, soit FAUSSE (principe du tiers exclu -inutilisé en logique intuitionniste-).
- Aucune proposition ne peut être à la fois VRAIE et FAUSSE (principe de non contradiction).
- etc...
LES QUATRE TYPES DE PROPOSITIONS:
- Un petit nombre d'axiomes (des propositions fondamentales et non démontrables, choisies en général
pour leur évidence, leur utilité et parce qu'elles sont acceptées par tous)
sur lesquels repose la structure "pyramidale" infinie des Mathématiques:
- L'arithmétique élémentaire de Peano:
- L'élément appelé zéro et noté 0 est un entier naturel.
- Tout entier naturel n a un successeur noté S(n).
- Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
- [S(m)=S(n)] ==> [m=n].
- etc...
- L'ensemble des nombres entiers est alors:
{0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),S(S(S(S(0)))),S(S(S(S(S(0))))),S(S(S(S(S(S(0)))))),S(S(S(S(S(S(S(0))))))),...} |__| |_____| |________| |___________| |______________| |_________________| |____________________|que l'on note le plus souvent:{0,1,2,3,4,5,6,7,...}
- La théorie des ensembles ZFC -Zermelo, Fraenkel, axiome du choix-:
- Il existe un ensemble dont aucun ensemble n'est élément (axiome de l'ensemble vide).
- Deux ensembles possédant les mêmes éléments sont égaux.
- etc...
- La géométrie euclidienne:
- Par deux points distincts du plan il passe une droite et une seule.
- Dans un plan, étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point et parallèle à la première (axiome des parallèles).
- etc...
- etc...
- L'arithmétique élémentaire de Peano:
- Des théorèmes: c'est-à-dire des propositions démontrées comme étant VRAIES.
- Des conjectures: c'est-à-dire des propositions en attente de confirmation (par une démonstration) ou de réfutation (par une démonstration ou la mise en évidence d'un contre-exemple).
- Des indécidables: c'est-à-dire des propositions dont on ne peut dire ni si elles sont VRAIES, ni si elles sont FAUSSES.
