• arithmétique,
• probabilité,
• calcul infinitésimal dont il fut l'un des précurseurs,
• physique (principe éponyme),
• etc...

                     2    2    2
                    X  + Y  = Z

                     2    2    2
                    3  + 4  = 5

                     n    n    n
                    X  + Y  = Z


                    {X,Y,Z,n} ∈ N

• les courbes elliptiques,
• les formes modulaires,
• les représentations galoisiennes,
• etc...

4.1-La Recherche en Physique :

Pour bien comprendre de quoi il s'agit, il est important de rappeler en quoi consiste l'activite du physicien.





4.1.1-L'Observation et la Mesure :

Depuis l'aube des temps, l'homme observe l'Univers, note les régularités, les symétries, les constances auquel son sens de la vision (certainement donc à l'origine de la curiosité scientifique) lui donnent accès. Que serait notre science si nos sens ne nous livraient que notre environnement proche (les sons, par exemple, n'ont qu'une très faible portée, alors que les rayonnements électromagnétiques, et la lumière en particulier, nous donnent "des nouvelles de l'infini").

L'acte fondamental du physicien est la mesure (mesure de coordonnées, de vitesses, de températures, de pressions,...). Les valeurs ainsi engrangées doivent être ensuite synthétisées et décrites à l'aide d'un langage permettant la communication la plus objective possible (dans le sens où les langues naturelles, quant à elles, sont fortement ambigües et subjectives), dans le but ultime de disposer d'une description unitaire de la Réalité.




4.1.2-La Modélisation :

Le langage utile à cette tache (utopique ?) est celui des Mathématiques, qui se sont révélées, au cours des siècles, être dans cette tâche d'une redoutable efficacité ; cela signifie-t-il pour autant que nous ayons perce le secret ultime du Grand Horloger ? Certains le croient, mais pour moi, cette étonnante adéquation des Mathématiques à la description de l'Univers ne serait lié d'une part qu'à l'absence de chaos absolu (dans le cas contraire, nous ne serions pas la pour discerter sur ce sujet...) ; par analogie avec la compression d'informations (par exemple, celle qui a donné naissance aux codages d'images de type JPEG), l'existence de régularités doit nécessairement impliquer la possibilité de décrire le tout d'une façon beaucoup plus économique (et surtout plus utile...) que celle qui consisterait à realiser un impossible inventaire exhaustif. D'autre part, partant des postulats ("personnels") suivants :


• notre imagination est conditionnée et informée par nos perceptions,
• les Mathématiques sont le pur fruit de cette même imagination (elles n'existent pas en dehors de nous, tout comme les langues naturelles, la morale ou encore l'art...),

alors, nos Mathématiques ne "percoivent" que ce que nous percevons ; étant évident, pour moi, que nos sens sont "infiniment" limités, nous ne décrivons ainsi qu'une infime partie de la Réalité, le reste nous échappant à jamais (rappelons à ce propos que c'est principalement grâce au sens de la vision -et donc au rayonnement électromagnétique- que nous prenons connaissance de notre "environnement" ; comment percevrions-nous ce dernier si nous n'avions que le sens de l'audition, dont la portée est très limitée ? Les étoiles, par exemple, existeraient-elles pour nous ? Alors, quels sens supplémentaires nous faudraient-ils pour appréhender l'infinie richesse de la Réalité ?)... Dans cette optique, nos Mathématiques ne seraient alors qu'un langage, parmi beaucoup d'autres (qui, sans doute, nous resteront inaccessibles à jamais, parce que liés à des formes d'intelligence qui nous sont complètement étrangères, voire "orthogonales"...), de description d'un infime sous-ensemble de la Réalité.

Une autre explication peut être avancée : l'intégralité de la réalité que nous percevons et dont nous sommes faits pourrait n'être que le résultat d'une gigantesque simulation effectuée à une échelle supérieure à la nôtre (nous commençons nous-mêmes, de façon plus modeste, à en réaliser de telles). Nous, alors simples intelligences artificielles, serions tout simplement en train, depuis des siècles, d'accéder aux programmes correspondants et d'en déchiffrer le langage (les Mathématiques...). Certains qualifieront d'extravagante cette explication, d'autres la renverront à la science-fiction. Mais en fait, rien ne permet d'en démontrer la fausseté, si ce n'est en invoquant, à juste titre, le principe d'Occam.




4.1.3-La Prédiction :

Ainsi, nos Mathématiques constituent le Langage et la Mémoire de la Sience et de la physique en particulier. Mais elles sont aussi une Pensée ce qu'illustre parfaitement la remarque faite par Heinrich Hertz au dix-neuvième siècle : on ne peut échapper au sentiment que ces formules mathématiques ont une existence qui leur est propre, qu'elles sont plus savantes que ceux qui les ont découvertes, et que nous pouvons en extraire plus de science qu'il n'en a ete mis à l'origine. Ainsi, la "manipulation" des équations contenus dans les modèles mathématiques des systèmes étudiés pourra permettre la découverte de phénomènes nouveaux que l'expérience devra ensuite confirmer ou infirmer (toute théorie scientifique se devant d'être réfutable). Notons au passage une différence fondamentale entre le mathématicien (l'inventeur) et le physicien (l'explorateur) : le premier aboutit, par ses démonstrations, à des certitudes absolues (par exemple, le théorème de Pythagore évoqué précédemment, affirme que tous les triangles rectangles, sans exception, possèdent une certaine propriété, par ailleurs invérifiable : en effet, les triangles rectangles possibles sont en nombre infini et la précision de nos mesures est évidemment limitée...) ; quant au second, il évolue constamment dans le provisoire et dans la crainte (ou l'espoir ?) permanente d'un phénomène nouveau qui viendra remettre en cause tout l'édifice théorique qu'il a patiemment construit. Donnons quelques exemples historiques et marquants de tout cela :


• En 1846, Urbain Le Verrier découvre, à partir des équations de Newton, la planète Neptune (permettant ainsi d'expliquer les différences entre les prédictions de la mécanique classique et les mesures toujours plus précises de l'époque, sans renoncer au cadre théorique en vigueur).
• En 1915, Albert Einstein, utilisant la théorie de la Relativité Générale qu'il vient de concevoir, prévoit la déviation des rayons lumineux par la matière et c'est en 1919, au cours d'une eclipse restée fameuse, que Sir Arthur Stanley Eddington vérifiait, par la mesure, les prédictions ainsi faites. Plus tard, d'autres physiciens annonceront l'existence quasi-probable des trous noirs ainsi qu'une origine possible pour l'Univers (le Big Bang).
• En 1930, Paul Dirac annonce l'existence de l'anti-électron grâce à la Mécanique Quantique. D'autres prédictions de cette dernière, beaucoup plus choquantes pour l'intuition, verront aussi le jour ; par exemple, la non localité testée expérimentalement par Alain Aspect grâce aux inégalités de Bell.

[pour avoir plus d'informations sur ce sujet]




4.1.4-Le Mathématicien et le Physicien :

Il est loin le temps où les grands esprits étaient à la fois Mathématiciens et Physiciens, comme le fut, par exemple, Isaac Newton. Aujourd'hui, sauf exception (Edward Witten, l'un des grands noms de la théorie des super-cordes, a reçu la Médaille Fields), il s'agit de deux mondes séparés. Le physicien pose des problèmes, émet des conjectures (par exemple celle de la dimension fractale d'un front de diffusion), alors que le mathématicien tentera de résoudre formellement ces problèmes (Wendelin Werner a recu la Medaille Fields en 2006, en particulier, pour la résolution du problème évoqué précédemment). Il convient de remarquer que parfois, tel Monsieur Jourdain qui disait de la prose sans qu'il en sut rien, le Mathématicien pur fait parfois de de la Physique sans le savoir ; ce fut ainsi le cas d'Evariste Galois lors de ses travaux sur la résolution par radicaux des équations algébriques et qui, a cette occasion, a défini la notion de groupe, aujourd'hui absolument fondamentale dans tous les domaines de la physique (et en Mécanique Quantique en particulier...).





4.2-Quelques exemples :

• De l'infiniment petit à l'infiniment grand...


• La Mécanique Quantique,
• Le Chaos Déterministe,
• La Mécanique Statistique,
• La Géométrie Fractale déterministe et non déterministe,
• La Mécanique Céleste,
• L'Astrophysique.





4.3-Les Limites :

Même si les succès de cette approche mathématique de la Connaissance sont considérables, il est essentiel de rester humble et d'adopter une attitude "copernicienne" (nous ne sommes pas le centre de l'Univers et notre vue des "choses" est partielle et limitée, nos Mathématiques ne sont pas Le Langage Universel,...). D'ailleurs nous savons déjà que nos outils possèdent des limites fondamentales, parmi lesquelles nous pouvons citer :


• L'incomplétude des Mathématiques (suite aux travaux de Gödel),
• La difficulté, voire l'impossibilité de construire des représentations "naïves" (textuelles en langues naturelles et surtout visuelles) des objets étudiés. En particulier, les images du type de celles qui furent présentées précédemment contraignent, pour les réaliser, à répondre à des questions qui bien souvent n'ont pas de sens. Ainsi, par exemple, quelle est la forme d'un nucléon ? ou encore quelle est la couleur d'un champ scalaire -de pression, de température,...- ?
• L'impossibilité, en toute généralité, de manipuler exactement les Nombres Réels dans un Ordinateur (mais d'ailleurs, pourquoi semblent-ils indispensables à la physique ?).

Les deux dernières limites sont atteintes quotidiennement, alors que la première pourrait se manifester, selon certains théoriciens, en gravitation quantique.