Tridimensional visualization of the Verhulst dynamics [Visualisation tridimensionnelle de la dynamique de Verhulst].




The Verhulst dynamics is defined using the following iteration: 
                    X  = 0.5
                     0

                    X  = RX   (1 - X   )
                     n     n-1      n-1
Here, in this computation, the growing rate 'R' is no longer constant but changes its value periodically using the following arbitrary cycle: 
R3 ==> R3 ==> R3 ==> R2 ==> R2 ==> R2 ==> R1 ==> R1 ==> R1 ==> R2 ==> R3 ==> R2 ==> R1 ==> R1 ==> R1 ==> R3 ==> R3 ==> R1 ==> R1 ==> R1 ==> R2 ==> R3 ==> R2 ==> R1 ==> R1 ==> R1 ==> R2 ==> R2 ==> R2 ==> R3 ==> R3 ==> R3
(based on the sine function on [0,8.pi]) where {R1,R2,R3} are respectively the three coordinates of the current point inside the following domain [2.936,3.413]x[3.500,3.850]x[3.000,4.000]. Only the points corresponding to a dynamical system with a negative Lyapunov exponent are displayed.


See a close-up:




See a set of 4x3 stereograms:




See a bidimensionnal dynamics:




See a related picture:




Le système dynamique défini par l'itération S[n+1]=RS[n](1-S[n]) est certainement l'exemple le plus simple relevant du chaos dit déterministe. En effet, dès que la constante R est supérieure à 3.56(...), les valeurs successives de S[n] ont l'apparence d'une suite aléatoire, bien qu'étant, par définition, déterministe: le système est alors dit chaotique et est donc sensible à la valeur initiale S0 (ainsi qu'aux erreurs d'arrondi).

Ce système peut être compliqué en forçant périodiquement la valeur de R, en faisant d'elle une variable. Les points de cette image (de coordonnées tridimensionnelles {x,y,z}) représentent les systèmes non chaotiques (ce qui signifie que les points non marqués représentent les systèmes chaotiques) obtenus lorsque R prend successivement les valeurs suivantes {z,z,z,z,y,y,y,x,x,x,x,y,y,z,z,y,x,x,x,x,y,y,z,z,y,y,x,x,x,x,x,x} (cette suite étant relativement arbitraire) répétées indéfiniment au cours des itérations, en partant de S0=1/2. Ce principe peut être généralisé, comme je l'ai fait, à des espaces possédant plus de trois dimensions. L'objet ainsi obtenu est fractal car il possède des détails à toutes les échelles d'observation. Ses couleurs primaires {R,V,B} sont choisies respectivement proportionnelles aux coordonnées {x,y,z}.


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