S'il-vous-plaît... dessine moi l'infini (d'après Antoine de Saint-Exupéry) :
Voyages de l'infiniment petit à l'infiniment grand
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(Site WWW CMAP28 : cette page a été créée le 16/11/2023 et mise à jour le 16/01/2025 11:27:46 -CET-)
Résumé : Grâce aux travaux de Georg Cantor, l'univers vertigineux des infinis s'est ouvert aux mathématiciens.
Mais est-il pour autant accessible, voire visualisable et si les Mathématiques sont bien LE langage de la Nature correspond-il à tout ou partie de la Réalité ?
Un voyage de l'échelle de Planck à l'hypothétique Multivers,
suivi d'une présentation de la Géométrie Fractale
nous offriront des éléments de réponses tout en images à ces interrogations.
Plan de ce document :
1-MATHEMATIQUES ET INFINIS :
1.3-L'UNIVERS VERTIGINEUX DES INFINIS DE GEORG CANTOR :
Dans la deuxième moitié du dix-neuvième siècle, Georg Cantor fut l'un des fondateurs
de la théorie des ensembles en s'interrogeant en particulier sur l'infini.
La notion de bijection 
entre deux ensembles est ici fondamentale : on dira que deux ensembles
ont le même cardinal ("ont la même taille") s'il existe une bijection entre-eux.
Et c'est ainsi que paradoxalement, les ensembles
des nombres pairs,
des nombres premiers,
des nombres rationnels,
des nombres algébriques,...
sont en bijection avec N.
Grâce à la notion
d'ensemble des parties 
(c'est-à-dire l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné),
il montra qu'il n'y avait pas un infini, mais une infinité !
Le plus petit infini est celui de l'ensemble des nombres entiers (N) : le dénombrable.
Mais par une
démonstration par l'absurde d'une étonnante simplicité,
il montra qu'il n'en était pas de même avec l'ensemble des nombres réels (R) :
R n'est pas dénombrable (le continu).
Et au-delà de R il y a une infinité d'ensembles toujours plus énormes obtenus, par exemple, en
itérant la définition P d'ensemble des parties : {E,P(E),P(P(E)),...}.
Savoir s'il existe des ensembles de taille intermédiaire entre N et R est (malheureusement...) un
indécidable (appelé l'Hypothèse du Continu)
de la théorie ZFC (Zermelo, Fraenkel et axiome du Choix) des ensembles...
Mais malgré cela, Georg Cantor a démontré
que R, R2,... Rn,... avaient même cardinal
permettant par là-même la définition de courbes dites remplissantes.
2-PHYSIQUE ET INFINI :
3-L'INFINI AU QUOTIDIEN :
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