De la Dénombrabilité des Nombres Algébriques
(Polynômes à coefficients entiers, Nombres Premiers, Nombres Rationnels et Nombres Transcendants)
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France
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Résumé : Comment "compter" les polynômes à coefficients entiers.
Une relation entre les nombres premiers et les nombres transcendants.
Mots-Clefs : Polynomials, Polynômes, Prime Numbers, Nombres Premiers, Rational Numbers, Nombres Rationnels, Algebraic Numbers, Nombres Algébriques, Transcendent Numbers, Nombres Transcendants.
Soit P(X) un polynôme de degré n à coefficients entiers :
P(X) = An*Xn + An-1*Xn-1 + An-2*Xn-2 + (...) + A2*X2 + A1*X1 + A0*X0
Ai ∈ Z ∀ i
An # 0
Ensuite, en utilisant les n+1 coefficients du polynôme, définissons le nombre rationnel unique
(et "irréductible", c'est-à-non dire non simplifiable de par la définition même des nombres premiers) suivant :
R = 2A0 * 3A1 * 5A2 * 7A3 (...)
où les nombres
{F1=2,F2=3,F3=5,F4=7,...,Fn+1}
sont les n+1 premiers nombres premiers Fi.
Alors évidemment :
R = a/b avec a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1
Par exemple :
---------------------------------------
| |
| -------------------------- |
| | | |
| | ------------- | |
| | | | | |
P(X) = X2 - X - 1 = + 1*X2 - 1*X1 - 1*X0 ==> R = 2-1 * 3-1 * 5+1 = 5/(2*3) = 5/6
(au passage, la racine positive de l'équation P(X)=0 définit le nombre d'or).
Le nombre R appartient donc à l'ensemble suivant :
Q' = {a/b|a ∈ N*,b ∈ N*,PGCD(a,b)=1}
Inversement, n'importe quel nombre R dans Q' définit un unique polynôme à coefficients entiers.
Par exemple :
---------------------------------------------------------------
| |
| --------------------------------------------------- |
| | | |
| | ---------------------------------------- | |
| | | | | |
| | | ---------------------------- | | |
| | | | | | | |
| | | | -------------- | | | |
| | | | | | | | | |
R = 22/7 = (2*11)/7 = 2+1 * 30 * 50 * 7-1 * 11+1 ==> P(X) = + 1*X4 - 1*X3 + 0*X2 + 0*X1 + 1*X0 = X4 - X3 + 1
Ce processus définit une bijection entre Q' et l'ensemble des polynômes à coefficients entiers.
Q' étant un sous ensemble de Q (les nombres rationnels) et
Q étant dénombrable,
alors l'ensemble des polynômes à coefficients entiers est dénombrable.
Enfin, les racines réelles des polynômes à coefficients entiers définissent les nombres dits algébriques.
Rappelons qu'un polynôme de degré n possède n racines complexes et donc au plus n racines réelles.
Donc les nombres algébriques sont dénombrables (un résultat bien connu, obtenu ici au moyen des nombres premiers et des nombres rationnels).
Nota : Il est possible d'aller un cran plus loin en numérotant les racines (qu'elles soient réelles ou complexes) du polynôme
P(X) : {1,2,...,n}.
Alors, si M est le numéro d'une certaine racine, à la définition de R un nouveau facteur égal à Fn+2
élevé à la puissance M pourra être introduit.
Cela crée alors une bijection entre les nombres rationnels et l'ensemble de l'"identité" (c'est-à-dire le numéro) des racines
des polynômes à coefficients entiers.
On notera que l'utilisation de la valeur des racines (au lieu de leur "identité") conduirait à renoncer à la bijection puisqu'en effet tout nombre algébrique peut être
obtenu d'une infinité de façons différentes ; par exemple, toutes les équations
K.X2-K.X-K=0 avec K#0
définissent les mêmes deux nombres rationnels
(1+sqrt(5))/2 (le nombre d'or) et (1-sqrt(5))/2.
Rappelons une conséquence de ce résultat : les nombres transcendants sont non dénombrables et donc existent. En effet :
NombresRéels = NombresAlgébriques ∪ NombresTranscendants
NombresAlgébriques ∩ NombresTranscendants = 0
Les Nombres Réels ne sont pas dénombrables et les Nombres algébriques sont dénombrables
d'où :
Les Nombres Transcendants ne sont pas dénombrables et donc existent
Annexe :
Voici les premiers nombres rationnels positifs "irréductibles" en utilisant le même ordre que celui utilisé pour
démontrer leur dénombrabilité :
| 1/1: P(X) = 0 [*] | 1/2: P(X) = -1 | 1/3: P(X) = -X | 1/4: P(X) = -2 | 1/5: P(X) = -X2 | 1/6: P(X) = -X-1 | 1/7: P(X) = -X3 | 1/8: P(X) = -3 |
| 2/1: P(X) = +1 | 2/2=1/1 | 2/3: P(X) = -X+1 | 2/4=1/2 | 2/5: P(X) = -X2+1 | 2/6=1/3 | 2/7: P(X) = -X3+1 | |
| 3/1: P(X) = +X | 3/2: P(X) = +X-1 | 3/3=1/1 | 3/4: P(X) = +X-2 | 3/5: P(X) = -X2+X | 3/6=1/2 | | |
| 4/1: P(X) = +2 | 4/2=2/1 | 4/3: P(X) = -X+2 | 4/4=1/1 | 4/5: P(X) = -X2+2 | | | |
| 5/1: P(X) = +X2 | 5/2: P(X) = +X2-1 | 5/3: P(X) = +X2-X | 5/4: P(X) = +X2-2 | | | | |
| 6/1: P(X) = +X+1 | 6/2=3/1 | 6/3=2/1 | | | | | |
| 7/1: P(X) = +X3 | 7/2: P(X) = +X3-1 | | | | | | |
| 8/1: P(X) = +3 | | | | | | | |
ou encore :
| 1/1: P(X) = 0 [*] | | | | | | | |
| 2/1: P(X) = +1 | 1/2: P(X) = -1 | | | | | | |
| 3/1: P(X) = +X | 2/2=1/1 | 1/3: P(X) = -X | | | | | |
| 4/1: P(X) = +2 | 3/2: P(X) = +X-1 | 2/3: P(X) = -X+1 | 1/4: P(X) = -2 | | | | |
| 5/1: P(X) = +X2 | 4/2=2/1 | 3/3=1/1 | 2/4=1/2 | 1/5: P(X) = -X2 | | | |
| 6/1: P(X) = +X+1 | 5/2: P(X) = +X2-1 | 4/3: P(X) = -X+2 | 3/4: P(X) = +X-2 | 2/5: P(X) = -X2+1 | 1/6: P(X) = -X-1 | | |
| 7/1: P(X) = +X3 | 6/2=3/1 | 5/3: P(X) = +X2-X | 4/4=1/1 | 3/5: P(X) = -X2+X | 2/6=1/3 | 1/7: P(X) = -X3 | |
| 8/1: P(X) = +3 | 7/2: P(X) = +X3-1 | 6/3=2/1 | 5/4: P(X) = +X2-2 | 4/5: P(X) = -X2+2 | 3/6=1/2 | 2/7: P(X) = -X3+1 | 1/8: P(X) = -3 |
[*] : par convention
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