Les Nombres Transcendants

Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Mots-Clefs : A2M, An 2000, Bogue, Bug, Bugix, Millenium Bug, Year 2000 Problem, Y2K, Y2K Bug, Anaglyphes, Art et Science, Autostéréogrammes, Chaos Déterministe, Création Artistique, Entrelacs, Erreurs d'arrondi, Expérimentation Virtuelle, Génie Logiciel, Géométrie Fractale, Infographie, Mathématiques, Mécanique Céleste, Mécanique Quantique, Physique, Sensibilité aux Erreurs d'Arrondi, Simulation Numérique, Stéréogrammes, Synthèse de Phénomènes Naturels, Synthèse de Texture, Visualisation Scientifique, Voyage Virtuel dans l'Espace-Temps.

Le dictionnaire Le Petit Robert nous explique qu'est transcendant ce qui s'élève au-dessus d'un niveau donné, mais aussi qui est sublime, supérieur. Cela implique donc, dans vie courante, que ce qui est transcendant est rare, l'exception...

Mais en Mathématiques, il en va tout autrement. En effet :

L'ensemble R des nombres réels peut être décomposé en deux sous-ensembles :
- Le sous-ensemble A des nombres algébriques, c'est-à-dire les nombres qui sont les solutions réelles d'équations polynomiales à coefficients entiers. Ainsi, par exemple, l'équation du premier degré :
```
7.X - 22 = 0
```
  définit le nombre rationnel 22/7. Quant à l'équation du second degré :
```
X²- X - 1 = 0
```
  elle définit les nombres (1-sqrt(5))/2 et (1+sqrt(5))/2 (le nombre d'or -phi-).
- Le sous-ensemble T des nombres transcendants, c'est-à-dire les nombres qui ne sont pas algébriques. Le plus célèbre d'entre-eux est bien certainement le nombre π...
et ainsi :
```
R = A ∪ T
A ∩ T = 0
```
En ce qui concerne les cardinaux respectifs de N (les nombres entiers), de Q (les nombres rationnels), de A et de R, on démontre facilement que :
- N est qualifié de dénombrable.
- Q est dénombrable de par l'existence d'une bijection avec N.
- A est dénombrable de par l'existence d'une bijection avec Q.
- R est non dénombrable et est qualifié de continu.

En résumé :
```
R(non dénombrable) = A(dénombrable) ∪ T
```
implique que T est, comme R, non dénombrable et ainsi T est "beaucoup plus gros" que A. Ce sont donc les nombres algébriques (de A) qui sont rares et les nombres transcendants (de T) qui sont les plus "présents" dans R.

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