AVirtualMachineForExploringSpaceTimeAndBeyond : The Simpson paradox (Le paradoxe de Simpson).

The Simpson paradox [Le paradoxe de Simpson].

The Simpson Paradox is based on the following phenomenon:

Let {n1,d1,n2,d2,n3,d3,n4,d4} be eight integer numbers such that:

                     n1     n2
                    ---- < ----
                     d1     d2

                     n3     n4
                    ---- < ----
                     d3     d4

Then:

                                 \
                     n1     n2    |
                    ---- < ----   |
                     d1     d2    |      n1     n3     n2     n4
                                  | ==> ---- + ---- < ---- + ----
                     n3     n4    |      d1     d3     d2     d4
                    ---- < ----   |
                     d3     d4    |
                                 /

But unfortunately (and obviously) nothing can be said about:

                     n1 + n3     n2 + n4
                    --------- ? ---------
                     d1 + d3     d2 + d4

where '?' means '<', '=' or again '>'.

Nota: this wrong way for adding two rational numbers is the so-called Median-Mean.

The {n1,d1,n2,d2,n3,d3,n4,d4} space is a eight-dimensional one and then difficult to visualize. In order to use a bidimensional space, for {n1,d1,n2,d2,n3,d3,n4,d4} inside [1,5], the two following coordinates are computed:

                    X = (((n1-1)*5 + (n3-1))*5 + (d1-1))*5 + (d3-1)
                    Y = (((n2-1)*5 + (n4-1))*5 + (d2-1))*5 + (d4-1)

Then, the white points {X,Y} display the case where:

                     n1 + n3     n2 + n4
                    --------- > ---------
                     d1 + d3     d2 + d4

the so-called paradoxal case...

For example:

                     1     2
                    --- < ---
                     3     4

                     4     2
                    --- < ---
                     3     1

when:

                     1 + 4     2 + 2
                    ------- > -------
                     3 + 3     4 + 1

By the way {Black, Red, Green} colors are used for the 3x3x3-2=25 other cases...

See some related pictures (including this one):

More information on this subject is available in the july 2013 issue of PLS (Pour La Science) with the Jean-Paul Delahaye's paper L'embarrassant Paradoxe de Simpson.

See my own discovery of the "double" Simpson Paradox on 03/20/2013 -in french-:

Afin de tester l'efficacité d'un nouveau médicament, il va être testé sur 183 patients (soit 91 hommes et 92 femmes): 89 vont prendre ce médicament et aux 94 autres, c'est un placebo qui sera administré. L'expérience suivante montre que suivant le tri qui sera fait entre les malades (par exemple observer l'ensemble d'entre-eux [1], ou bien uniquement les femmes [3] ou encore les hommes aux yeux foncés [7]), le résultat du test d'efficacité peut être inversé. Ainsi, pour l'ensemble [1] c'est le médicament qui semble efficace, alors que pour les hommes aux yeux foncés [7] c'est le placebo. Alors, quelle est l'efficacité réelle de ce nouveau médicament?

1=Général

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	47	42	52.80%
Placebo	38	56	40.42%

2=Hommes

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	40	26	60.60%
Placebo	16	9	64%

3=Femmes

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	7	16	30.43%
Placebo	22	47	31.88%

4=YeuxClairs

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	24	19	55.81%
Placebo	21	28	42.85%

5=YeuxFoncés

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	23	23	50%
Placebo	17	28	37.77%

6=HommesYeuxClairs

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	21	13	61.76%
Placebo	8	5	61.53%

7=HommesYeuxFoncés

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	19	13	59.37%
Placebo	8	4	66.66%

8=FemmesYeuxClairs

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	3	6	33.33%
Placebo	13	23	36.11%

9=FemmesYeuxFoncés

	Guéri	Non guéri	Taux de guérison
Médicament	4	10	28.57%
Placebo	9	24	27.27%

On a évidemment les relations suivantes entre les tableaux précédents:

Général = Hommes + Femmes
183 = 91 + 92

Général = YeuxClairs + YeuxFoncés
183 = 92 + 91

Général = HommesYeuxClairs + HommesYeuxFoncés + FemmesYeuxClairs + FemmesYeuxFoncés
183 = 47 + 44 + 45 + 47

Hommes = HommesYeuxClairs + HommesYeuxFoncés
91 = 47 + 44

Femmes = FemmesYeuxClairs + FemmesYeuxFoncés
92 = 45 + 47

YeuxClairs = HommesYeuxClairs + FemmesYeuxClairs
92 = 47 + 45

YeuxFoncés = HommesYeuxFoncés + FemmesYeuxFoncés
91 = 44 + 47

[See the C program used to obtain those results]

(CMAP28 WWW site: this page was created on 04/18/2013 and last updated on 03/05/2025 11:08:42 -CET-)

[See all related pictures (including this one) [Voir toutes les images associées (incluant celle-ci)]]

[Please visit the related NumberTheory picture gallery [Visitez la galerie d'images NumberTheory associée]]

[Go back to AVirtualMachineForExploringSpaceTimeAndBeyond [Retour à AVirtualMachineForExploringSpaceTimeAndBeyond]]

[The Y2K Bug [Le bug de l'an 2000]]

[Site Map, Help and Search [Plan du Site, Aide et Recherche]]
[Mail [Courrier]]
[About Pictures and Animations [A Propos des Images et des Animations]]