D'Euclide au GPS

Jean-François COLONNA
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Mots-Clefs : Euclidian Geometry, Géométrie euclidienne, GPS, Relativity, Relativité.

[Voir un résumé]

1-La géométrie euclidienne :

Euclide vivait dans la Grèce antique deux ou trois siècles avant notre ère. Il est universellement connu comme étant l'auteur des Éléments, l'un des plus anciens ouvrages de Mathématiques qui présentait, partant d'axiomes, des théorèmes rigoureusement démontrés.

Ces axiomes [01] étaient considérés par Euclide et de nombreux philosophes, dont Socrate, comme des énoncés, issus de l'expérience, évidents par eux-mêmes et dont la signification ne faisait aucun doute. Ceux de la géométrie dite euclidienne sont :

A1-Pour deux points différents quelconques, il existe une droite contenant ces deux points et cette droite est unique [02].
A2-Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment.
A3-Un cercle peut être construit lorsqu'on donne un point pour son centre et une distance pour son rayon.
A4-Tous les angles droits sont égaux.
A5-Pour toute ligne L et tout point P non situé sur L, il existe une ligne passant par P et ne rencontrant pas L et cette ligne est unique [03].

Ensuite à partir d'eux et de théorèmes antérieurs, de nouveaux peuvent être démontrés. L'un des théorèmes les plus fameux est bien certainement le théorème de Pythagore

qui figure d'ailleurs en bonne place dans Les Éléments.

Pendant plus de deux millénaires de très nombreux nouveaux théorèmes de géométrie ont été démontrés, mais malgré cela un intense débat n'aboutissait pas : pouvait-on, oui ou non, faire du cinquième axiome (A5) un théorème ?

Dans un plan, étant donné un point P et une droite D ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point P et parallèle à la première.

Durant tous ces siècles, il était en quelque sorte à la fois un axiome et une conjecture, mais pour les physiciens, que l'on soit avant

ou après Copernic

une choses était sûre : l'espace était évidemment euclidien et absolu [04]. Il en était ainsi pour Newton et la lumière ne posait alors encore aucun problème...

2-Les géométries non euclidiennes :

A fin du XIXe siècle, grace aux travaux de Gauss, Lobatchevski, Riemann et d'autres encore, il est apparu qu'il était possible de remplacer l'axiome A5 par d'autres donnant alors naissance à de nouvelles géométries non contradictoires, confirmant par là-même que A5 ne pouvait être un théorème de la géométrie euclidienne.

A la place de l'axiome énonçant l'unicité de la parallèle, deux nouveaux axiomes A5 pouvaient donc être utilisés :

A51-Par un point P extérieur à une droite D il ne passe aucune parallèle à D : c'est la géométrie dite sphérique.
A52-Par un point P extérieur à une droite D il passe une infinité de parallèles à D : c'est la géométrie dite hyperbolique.

Avec Euclide, la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés, mais cela n'est plus vrai avec ces nouvelles géométries : elle est soit supérieure, soit inférieure suivant qu'il s'agit des géométries sphérique ou bien hyperbolique. De plus, tous les résultats métriques, concernant les longueurs, comme le théorème de Pythagore, n'y sont plus valides.

Mais ces nouvelles géométries pouvaient-elles trouver des applications concrètes ?

Nous sommes alors à la charnière des XIXe et XXe siècles et même si William Thomso [05] avait pu déclarer en 1900 : Dans le ciel bleu de la Physique, à l'horizon subsistent seulement deux petits nuages incompris qui ternissent la beauté et la clarté, laissant entendre que, malgré cela, la Physique était "terminée", deux problèmes restaient alors ouverts : d'une part l'interprétation des expériences de Michelson et Morley [06] et d'autre part l'explication de l'incohérence des calculs relatifs au rayonnement du corps noir [07].

3-La Relativité Générale :

Au début du XXe siècle, les physiciens ont alors dorénavant à leur disposition non plus une géométrie, celle qu'ils utilisaient depuis des siècles, mais plusieurs. En 1915, Albert Einstein publie un nouvel article révolutionnaire [08] sur la Relativité Générale où, comme dans la Relativité Restreinte de 1905, l'espace et le temps ne peuvent plus être traités indépendemment mais forme l'espace-temps quadridimensionnel, mais qui de plus est alors un espace courbe permis par les géométries non euclidiennes. L'équation fondamentale montre que simultanément les masses/énergies courbent l'espace-temps et que la courbure de l'espace-temps détermine les trajectoires des masses/énergies :

Très rapidement de nombreux physiciens s'en emparèrent et en particulier Georges Lemaître qui se rendit compte alors que, malgré la croyance d'Albert Einstein, l'Univers ne pouvait pas être statique. En 1929, les observations d'Edwin Hubble (en collaboration avec Milton Humason [09]) et Vesto Melvin Slipher montrèrent que les autres galaxies semblaient s'éloigner de nous, la Voie Lactée, d'autant plus vite qu'elles étaient plus lointaines [10]. L'Univers n'était donc pas statique, mais en expansion et si l'on regarde "le film à l'envers", il doit donc montrer une contraction vers une "singularité" (de dimension nulle et de densité infinie, dans le cadre de la Relativité Générale en ignorant la Mécanique Quantique...). Cette singularité fut surnommée "Big Bang" par Fred Hoyle dans les années 1950 pour dénigrer cette théorie préférant la sienne dite de l'état stationnaire, mais il dont il fut prouvé par la suite qu'elle n'était pas compatible avec les observations et les mesures.

La Relativité Générale permet donc de décrire l'Univers dans son intégralité :

mais aussi des phénomènes difficiles à appréhender tellement ils sont "cataclysmiques" comme les trous noirs ou les ondes gravitationnelles [11] :

Mais dans notre quotidien, la Relativité Générale semble bien inutile et éloignée de nos préoccupations quotidiennes...

4-Le GPS (Global Positionning System) [12] :

Le GPS est un système de positionnement par satellites conçu et développé à l'initiative du Pentagone à partir de la fin des années 1960. Il permet de connaître de façon précise la position d'un point quelconque par rapport à la Terre. Le principe en est élémentaire et repose sur un problème de géométrie euclidienne trivial que nous allons décrire dans un premier temps dans le plan afin d'en simplifier la représentation :

Soit dans un plan un triangle ABC non dégénéré qui va nous servir de référentiel (figure de gauche). Donnons-nous ensuite dans ce même plan un point P dont nous ne connaissons que les distances aux trois sommets du triangle (figure du milieu). Peut-on alors connaître la position du point P ? La réponse est évidemment positive : le point P est à l'intersection des trois cercles de centre et de rayon respectifs {A,B,C} et {AP,BP,CP} (figure de droite).

Dans l'espace, il suffit de remplacer le triangle par un tétraèdre ABCD non dégénéré :

Le point P est à l'intersection des quatre sphères de centres et de rayons respectifs {A,B,C,D} et {AP,BP,CP,DP}.

Maintenant, comment réaliser cela concrètement ? Une pyramide géante est évidemment une idée stupide puisqu'en particulier ses quatre sommets ne pourraient pas être visibles de n'importe quel point du globe. La solution est donc d'utiliser un certain nombre de satellites : quatre sont évidemment insuffisants car, comme pour la pyramide, ils ne pourraient être en vue de tous les points du globe... Il "suffit" donc de mettre en place une constellation. En ce qui concerne le GPS une trentaine de satellites [13] sont utilisés à une altitude de 10.900 miles nautiques [14] et répartis dans six plans inclinés à 55 degrés sur l'équateur. Leur période orbitale est de douze heures..

Ainsi, à tout instant tout observateur (notre point P ci-dessus) à la surface de la Terre a en vue plus de quatre satellites (notre pyramide précédente), mais alors se pose la question de connaître les distances. Même si la solution effectivement utilisée est différente, elle ressemble au principe suivant : remplacer l'évaluation d'une longueur par une mesure de durée. Ainsi, si le satellite A envoie le message : "il est telle heure" (H1) et que celui-ci parvienne au point P à H2, alors la durée de la transmission est égale à H2-H1. Enfin connaissant le vitesse de propagation des messages [15], la distance est triviale à calculer. Evidemment, on néglige ici le fait que le milieu de propagation n'est pas le vide et n'est pas homogène.

L'histoire, peut-être apocryphe, raconte que c'est ainsi que les militaires américains avaient prévus de programmer les satellites mais que certains physiciens les avaient prévenus que cela ne fonctionnerait pas correctement. Malgré tout les satellites furent mis en orbite, les physiciens obtenant que les satellites puissent être reprogrammés depuis la Terre. Et heureusement car, en effet, cela fut nécessaire. Mais quel(s) problème(s) les physiciens avaient-ils soulevés ? Tout "simplement", les effets relativistes avaient été négligés :

1-La Relativité Restreinte : lors de mouvements relatifs uniformes, il y a "dilatation du temps". Si V et C désignent respectivement la vitesse [16] d'un satellite par rapport à la Terre et la célérité de la lumière, et si Dt_T et Dt_Ssont des durées mesurées respectivement sur Terre (P) et à bord d'un satellite (A), on a alors la relation :
```
                               Dt_S
                    Dt_T = -------------
                                  V²
                           √(1 - ----)
                                  C²
```
d'où, V étant strictement inférieure à C :
```
                    Dt_T > Dt_S
```
Et ainsi, la durée mesurée à bord d'un satellite (Dt_S) est plus courte qu'à terre (Dt_T), ce qui signifie que le temps en orbite s'écoule plus lentement qu'immobile au sol -effet 1-.

2-La Relativité Générale : ici c'est un effet inverse qui est observé. En effet, le potentiel gravitationnel de la Terre est évidemment plus faible en altitude qu'au sol. Or les équations de la Relativité Générale montrent que plus ce potentiel est faible, plus le temps s'écoule rapidement et ainsi, en orbite, il s'écoule plus rapidement qu'au sol -effet 2-.

Evidemment, d'une part, il n'y a aucune raison pour que ces deux effets temporels (-1- de ralentissement et -2- d'accélération) se compensent et d'autre part, ils ne peuvent pas être négligés sous peine d'une perte importante de précision [17].

Ainsi, ces théories que l'on pourrait croire n'avoir d'intérêt que pour décrire des phénomènes hors du commun, comme le Big Bang, les trous noirs ou encore les ondes gravitationnelles, ne peuvent être ignorées dans notre quotidien et elles se retrouvent dans la vie de tous les jours et dans la poche de très nombreux terriens !

Enfin, on notera que le GPS repose donc a priori sur deux des trois piliers de la Physique contemporaine, à savoir les Relativités Restreinte et Générale, comme nous venons de le voir. Mais le troisième pilier, la Mécanique Quantique, n'est pas absent : en effet, d'une part, dans les satellites, dans les cinq stations au sol [18] ainsi que dans les récepteurs portatifs, il y a de très nombreux circuits intégrés qui eux-mêmes contiennent une multitude de transistors, fruits de la Mécanique Quantique. D'autre part, le principe du GPS reposant sur des mesures de temps, il est essentiel de disposer dans les satellites et les stations au sol des horloges les plus précises [19] que seuls les principes de la Mécanique Quantique nous permettent de réaliser. Le GPS est donc l'une des plus belles synthèses de la Physique contemporaine !

5-De l'intérêt de la recherche en Mathématiques :

On distingue et oppose souvent les Mathématiques Pures et les Mathématiques Appliquées. Les Mathématiques Pures trouvent leur source d'inspiration dans des questions très abstraites et déconnectées de la Réalité, alors que les Mathématiques Appliquées répondent quant à elles à des questions bien concrètes posées par la Science et par l'Industrie. On pourrait donc considérer que seules les Mathématiques Appliquées ont un intérêt. Mais comme le montre ce document, il n'en est rien. Par le passé ce débat sur l'axiome des parallèles aurait pu être considéré comme futile, mais qui aurait pu imaginer que plusieurs siècles plus tard il déboucherait sur une application aussi concrète et "démocratisée".

Et aujourd'hui, nul ne sait ce sur quoi pourrait déboucher l'étude des grandes conjectures actuelles et quelles applications révolutionnaires elle pourrait nous offrir ?

[01] Appelés aussi postulats.
[02] Après un "raffinement" effectué par David Hilbert.
[03] Si une droite tombant sur deux droites rend les angles intérieurs du même côté inférieurs à deux angles droits, les deux droites, si elles sont produite indéfiniment, se rencontreront sur le côté sur lequel les angles sont inférieurs aux deux angles droits.
[04] Tout comme le temps.
[05] Lord Kelvin.
[06] Les expériences interférométriques de Michelson et Morley, réalisées entre 1881 et 1887, étaient destinées à mettre en évidence l'existence de l'éther luminifère, milieu hypothétique qui aurait assuré la propagation des ondes lumineuses (tout comme l'air, assure la propagation des ondes de pression, les sons). Or ce qu'elles montrèrent, la Terre devant se déplacer par rapport à l'éther, c'est que la vitesse de la lumière était indépendante de la direction suivant laquelle était faite la mesure, ce qui était en contradiction avec la loi classique d'addition des vitesses (de la Terre par rapport à l'éther et de la lumière par rapport à la Terre dans ces expériences). La compréhension viendra en 1905 avec l'article d'Albert Einstein sur la Relativité Restreinte.
[07] Le corps noir est un objet idéal qui absorbe toute l'énergie électromagnétique qu'il reçoit sans la réfléchir ni la transmettre, mais qui rayonne malgré tout de par l'agitation thermique de ses constituants. Les calculs "classiques" faits à la fin du XIXe siècle donnait une invraisemblable quantité d'énergie rayonnée infinie. La compréhension viendra en 1900 avec l'hypothèse des quanta proposée par Max Planck.
[08] Rappelons qu'au cours de sa carrière Albert Einstein a publié un certain nombre d'articles qui ont bouleversé la Physique et notre vue sur la réalité et en particulier : le mouvement brownien (1905), la Relativité Restreinte (1905), la Relativité Générale (1915), les ondes gravitationnelles (1918), l'effet photoélectrique (1905, Prix Nobel 1921), l'effet EPR (Albert Einstein, Boris Podolsky et Nathan Rosen, 1935).
[09] Ancien muletier ayant travaillé à la construction de l'observatoire du Mont Wilson !
[10] Cela se voit par une analyse spectroscopique de leur lumière qui met alors en évidence un décalage vers le rouge des fréquences (ressemblant à l'effet Doppler classique, mais de causes très différentes) interprété comme une "fuite"...
[11] On notera qu'Albert Einstein avait annoncé la possible existence des ondes gravitationnelles, en ajoutant que probablement on ne les détecterait jamais. Et de fait il fallut attendre un siècle pour que les deux interféromètres LIGO aux USA (états de Washington et de Louisiane) "voient" les premières le 14/09/2015. Pour moi, il s'agit là du plus bel exemple d'une découverte faite grace aux Mathématiques, alors que, sans ces dernières, ces ondes n'auraient pu êtres détectées par hasard, contrairement à l'expansion de l'Univers qui l'aurait été, "simplement" en observant le décalage vers le rouge de la lumière des galaxies lointaines et ce même si Georges Lemaître ne l'avait pas mise en évidence là encore grace à la Relativité Générale...
[12] Il existe d'autres systèmes de mêmes fonctionnalités : Beidou en Chine (1983), Galileo en Europe (1998) et Glonass en Russie (1976).
[13] Le nombre exact de satellites peut varier en fonction de la date, du lancement de nouvelles unités ou encore de défaillances.
[14] Les satellites ne sont pas en orbite géostationnaire (35.786 kilomètres au dessus de la surface de la Terre), peut-être pour réduire les consommations énergétiques relatives aux transmissions.
[15] La vitesse de propagation d'une onde électromagnétique dans le vide est égale à 299.792.458 mètres par seconde.
[16] Elle peut être considérée comme étant uniforme "localement"...
[17] Les calculs montrent que négliger les Relativités Restreinte et Générale provoque une dérive des mesures de plus de 11 kilomètres par jour !
[18] Le GPS utilise cinq stations au sol destinées à surveiller en permamence les satellites afin de connaître, en particulier, les infimes déviations par rapport aux "plans de vol" théoriques. Elles sont situées sur les îles Hawaii, de l'Ascension, de Diego Garcia, de Kwajalein et enfin à Colorado Springs.
[19] Il faut noter que les horloges dites atomiques les plus perfectionnées ont une précision telle qu'elles sont sensibles aux effets induits par la Relativité Générale et ainsi les élever d'un mètre à la verticale, et donc diminuer le potentiel gravitationnel terrestre qu'elles subissent, modifie leur fréquence de fonctionnement !