Le mouvement brownien






Jean-François COLONNA
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CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France

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Mots-Clefs : Brownian Motion, Mouvement Brownien.



Le mouvement brownien fut découvert en 1827 par le botaniste anglais Robert Brown lors de l'observation au microscope de grains de pollen dispersés à la surface d'un liquide. Il trouve son origine dans les innombrables chocs entre les molécules du liquide et les grains. Ce phénomène fut en particulier étudié par Albert Einstein (1905) et ensuite, grâce aux expériences de Jean Perrin, il constitua une preuve essentielle de la structure atomique de la matière. Ces études furent ensuite poursuivies sur le plan mathématique en particulier, par Paul Lévy [01] et l'un de ses élèves, Benoît Mandelbrot.

Le mouvement brownien d'une particule consiste en une suite de déplacements aléatoires (en direction et en amplitude) indépendants les uns des autres. Les structures obtenues sont la source de problèmes mathématiques généralement difficiles : ainsi par exemple, Benoît Mandelbrot avait conjecturé que la dimension fractale de l'enveloppe -courbe blanche- du mouvement brownien bidimensionnel -courbe colorée- était égale à 4/3 et ceci fut démontré en 1999 par Greg Lawler, Oded Schramm et Wendelin Werner [02].

Ce phénomène est en fait omniprésent : en Physique, en Chimie, en Biologie [03], dans certains processus industriels,... et même dans le monde de la finance où il est un modèle de l'évolution au cours du temps du prix des actifs.

Il est possible de l'étudier en deux et trois dimensions dans nos ordinateurs sous forme d'expériences virtuelles. Pour ce faire, nous allons nous placer à l'intérieur d'un domaine rectangulaire (respectivement parallélépipédique) et y disposer sur un réseau carré (respectivement cubique) des particules. Ces dernières seront de deux types : d'une part des particules dites légères, initialement animées de vitesses aléatoires en direction et de même module ; elles seront représentées par des petites boules colorées. D'autre part des particules dites lourdes, initialement immobiles ; elles seront représentées par des petites boules blanches. Au cours du temps, il va y avoir des chocs [04] entre toutes ces particules et progressivement, les particules lourdes vont être mises en mouvement :



Nous observons alors que plus les particules blanches (les "grains de pollen" de Robert Brown) sont lourdes moins facilement elles sont mises en mouvement par les particules colorées (les "molécules" d'Albert Einstein) [05].





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