Exposition :
Ecole Polytechnique, 2005 Année Mondiale de la Physique
CMAP (Centre de Mathématiques APpliquées) UMR CNRS 7641, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, CNRS, France
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Art et Science
Jean-François COLONNA
(Centre de Mathématiques APpliquées)
Introduction à l'exposition
L'exposition Art et Science organisée dans le cadre
de 2005 Année de la Physique regroupe quarante images
toutes réalisées par l'auteur au cours des années passées. L'expérience montre qu'au-delà de leur éventuel
intérêt scientifique ou pédagogique, elles attirent le regard du public même non spécialisé.
Les quelques lignes qui suivent sont destinées
à décrire le contexte dans lequel elles furent réalisées.
Lever et coucher du Soleil ou encore chute inexorable des pommes : depuis la nuit des temps l'homme observe les
régularités et les symétries de son univers. Pour les décrire, en particulier dans le domaine
de la physique, c'est le langage des
mathématiques qui est utilisé et aujourd'hui, toutes les lois de la nature sont exprimées sous
la forme d'équations bien souvent sans équivalents dans nos langues naturelles. Ces équations ne font pas
qu'engranger ou transmettre des connaissances : elles permettent aussi d'en produire de nouvelles.
Bien évidemment, ces prédictions
n'ont de sens que si elles sont ensuite confrontées à l'expérience, une théorie scientifique
se devant d'être, par essence, réfutable.
Des modèles mathématiques vont donc décrire le comportement des systèmes que les chercheurs et les ingénieurs
étudient. Ainsi qu'il est facile de l'imaginer, ils sont en général d'une très
grande complexité ; leur étude pourra donc présenter des difficultés tant théoriques que techniques.
Fort heureusement, au cours
des années quarante, John Von Neumann, Alan Turing et beaucoup d'autres, ont conçu les
premiers ordinateurs, grâce auxquels, aujourd'hui, les chercheurs et les ingénieurs
peuvent porter plus loin leurs gestes et leurs regards. Des méthodes dites numériques
vont permettre de connaître les solutions
des équations, non point sous la forme générale de formules inexistantes ou inaccessibles, mais
sous celle particuliere de suites de valeurs numériques. Cette situation ne doit d'ailleurs
pas nous choquer. N'oublions pas que l'acte fondamental du scientifique est la mesure :
la réalité ne se manifeste à lui, au cours
des expériences, que par l'intermédiaire de nombres (des coordonnées, des
vitesses, des températures,...) ; il n'a jamais accés
aux formules du "Vieux" (pour paraphraser Albert Einstein...).
Le volume des résultats ainsi produits est en général considérable et seule l'image de synthèse permet de les
appréhender. Au passage, il convient de noter que les expériences qui sont menées, par exemple, avec les
accélérateurs de particules ou les télescopes, donnent elles aussi des "montagnes" de valeurs
numériques. Les mêmes techniques sont donc tout aussi utiles dans ce contexte.
Avant de visiter cette exposition, il est bon de comprendre les difficultés et les dangers
de ces techniques. Trois raisons vont se conjuguer pour rendre difficile l'obtention de résultats
de qualité ; en effet, contrairement peut-être à certaines idées
preconçues, il est difficile d'une part de bien calculer à l'aide d'un ordinateur, d'autre part de visualiser des
résultats numériques et enfin de résister à la tentation de faire des images spectaculaires
sans intérêt scientifique (ou pédagogique)...
Tout se ramène donc à des calculs numériques. Leur précision est limitée pour des raisons
théoriques, pratiques et économiques évidentes ; les machines font donc des erreurs
d'arrondi. En toute généralité, cela fait perdre à l'addition et surtout à la multiplication
leur propriété d'associativité. Dans le domaine scientifique, où les résultats sont transformés
et retransformés un nombre gigantesque de fois, cela peut avoir, dans
le cadre des modèles dits sensibles aux conditions initiales, des conséquences dramatiques.
En ce qui concerne la visualisation, contrairement à la synthèse d'image cinématographique,
il s'agit ici de montrer bien souvent des
objets sans image, soit qu'ils n'existent pas dans la nature (un ensemble de Julia dans les
quaternions), soit que, bien que naturels, il soit impossible, voire interdit, de les
représenter (un "objet" quantique) ou encore tout simplement parce qu'ils n'ont pas d'équivalents
visuels (une pression, une température...). S'il est clair que montrer un objet à quatre dimensions
est chose difficile, il est malheureusement moins évident que toute tentative de représentation, dans
ce contexte, est délicate. La difficulté vient bien entendu des espaces, en général non naturels, dans
lesquels résident ces objets, mais surtout de la non unicité des images
que l'on peut en donner : même dans les cas les plus simples, des ambiguïtés et des contradictions
peuvent surgir. Enfin, il est souvent tellement facile de calculer de telles
images, que le risque peut être grand de confondre esthétisme et valeur scientifique : une belle
représentation n'est point nécessairement bonne, alors que, bien souvent, ce critère
d'harmonie est utilisé pour juger une théorie. Malgré cela, il ne faudrait pas
négliger les apports de l'Art à la Science. En effet, il est des codes culturels
définis au cours des siècles passés ; ceux-ci doivent être respectés
ici sous peine, dans le cas contraire, de produire des visualisations
qui soient en contradiction avec nos mécanismes perceptifs. En retour la Science offrira à l'Art de nouvelles
"natures mortes" à représenter...
Une fois avertis de ces dangers, les scientifiques et les ingénieurs
ont à leur disposition un nouvel instrument dont les implications épistémologiques
auront au moins l'importance de celles de la lunette de Galilée en son temps. Tout ceci débouche sur
le concept d'Expérimentation Virtuelle. Cette dernière, complémentaire de l'Expérimentation Réelle,
consiste donc, tant dans
les domaines scientifique qu'industriel, à faire des expériences
non point sur un système réel, mais sur son modèle mathématique et à interagir avec ce dernier par l'intermédiaire d'images.
Bien évidemment de nombreuses questions surgissent de cette approche.
D'une part, la science et, en particulier, les
mathématiques ont-elles droit à ces images ? Et d'ailleurs sont-elles utiles ? Le scientifique
ne peut-il se contenter de la seule pensée verbale et bannir alors
toute aide visuelle ? Un élément de réponse à cette interrogation fut donné par Albert Einstein dans
une lettre qu'il écrivit à Jacques Hadamard : "les mots et le langage, écrits
ou parlés, ne semblent pas jouer le moindre rôle dans le mécanisme de ma pensée. Les
entités psychiques qui servent d'éléments à la pensée sont certains signes
ou des images plus ou moins claires qui peuvent à volonté être reproduits et combinés".
Il convient de se souvenir que pendant plusieurs
décennies, un large mouvement d'abstraction s'est imposé mais que, l'apparition de nouvelles
techniques aidant, nous assistons aujourd'hui à un retour en force de la pensée visuelle.
Bien évidemment tout extrémisme est dangereux, ici comme ailleurs ; il ne faudrait pas
qu'un mouvement inverse se déclenche et que le je pense donc je suis
se transforme en un je calcule et je visualise donc je suis... A titre d'exemple, rappelons
que c'est très certainement grâce à l'image que la géométrie fractale a pris
l'essor qu'elle connait actuellement, mais
que, malgré cela, il n'est jamais de certitudes visuelles et que les conjectures
qui peuvent être formulées à partir d'une représentation doivent se voir confirmées
ou infirmées par un theorème ! L'image doit donc être vue ici simplement comme un levier intellectuel stimulant et entrainant plus
loin l'imagination du chercheur, rendant ainsi toute sa noblesse au sens de la vision.
Alors, ces univers créés dans nos ordinateurs ont-ils le statut ontologique de nouvelles
réalités ?
Ces "univers-jouets" avec leurs lois calquées
sur celles de la nature, ou bien avec d'autres sur lesquelles il nous faut expérimenter, ne sont-ils
pas aussi réels que celui que nous n'appréhendons finalement que par les modèles neuronaux créés
par nos sens au cours des âges ? Ces images de science, si elles créent bien souvent la surprise
chez ceux qui en ont un besoin immédiat et professionnel, interpellent fréquemment la sensibilité
du profane et de l'artiste, signe certain d'un contenu beaucoup plus
riche que les apparences ne le laisseraient parfois supposer. Ne sont-elles point alors
à entendre comme un lieu de convergence entre l'Art et la Science, ou tout reste encore à voir et à découvrir ?
Au début du vingtième siècle, deux théories sont venues bouleverser notre vision
de la Réalité : la Mécanique Quantique et la Relativité Générale. Elles permettent de
décrire, avec une précision étonnante, respectivement les plus petites et les plus grandes structures de l'Univers.
Mais à ce jour (et c'est-là le grand défi auquel sont confrontés les théoriciens à l'aube du vingt-et-unième siècle),
elles restent inconciliables, or le Graal du physicien est l'unification.
Une approche prometteuse, mais encore fortement hypothétique, est celle
dite des supercordes dans laquelle les particules élémentaires ne seraient plus ponctuelles,
mais monodimensionnelles. Pour assurer sa cohérence mathématique, elle exige que l'espace-temps
possède 6, voire 7, dimensions supplémentaires. Celles-ci nous sont évidemment invisibles, une
explication possible en étant qu'elles seraient infinitésimales et "enroulées" sur elles-mêmes de façon fort complexe,
décrite par les variétés de Calabi-Yau dont est présentée ici, de façon "artistique", une section tridimensionnelle
dans l'une d'elle.
Une analogie permet de mieux comprendre cela : un cylindre (une surface bidimensionnelle)
vu de très loin semble être une ligne droite (monodimensionnelle),
mais en s'en rapprochant on voit qu'en chacun des points de cette dernière il y a un cercle qui lui est orthogonal.
Le vide quantique n'est pas le vide de la physique classique.
Les relations d'indétermination d'Heisenberg autorisent, durant des durées Dt
très brèves, la création puis l'annihilation d'ensemble de particules
virtuelles d'énergie DE (par exemple une paire {e+,e-}),
le produit DExDt devant être supérieur ou égal à la constante de Planck 'h' divisée par 2.pi.
Cette image montre ainsi quelques événements autorisés par le modèle standard des interactions
électrofaibles et fortes. Les trainées les plus épaisses correspondent à des fermions
(quarks, électrons,...) et à leurs anti-particules, alors que les
trainées les plus fines correspondent à des bosons (gluons, photons, W+, W-, Z0,...).
Enfin, en ce qui concernent les couleurs attribuées aux quarks et aux gluons,
elles correspondent, d'une façon triviale, à la charge de couleur, les particules insensibles
à l'interaction forte apparaissant en blanc ou en gris.
Longtemps considérés comme
élémentaires, les nucléons (le proton et le
neutron), sont aujourd'hui décrits en tant
qu'objets composés. Le modèle, dit
"standard", des particules et de leurs
interactions repose sur les bosons (les
"vecteurs des forces") et les fermions (la
"matière") ; dans cette dernière catégorie se
trouvent les leptons et les quarks. Cette image
nous montre une vue d'un proton tel qu'il est
défini dans ce modèle : il est constitué de trois
quarks dits "réels" (ou de valence) localisés
approximativement aux sommets d'un triangle
équilatéral assez apparent sur cette image ; ils
sont respectivement porteurs d'une charge de
couleur rouge, verte et bleue (cette charge est
naturellement representée à l'aide des couleurs
plus familières et de même nom). Une "mer"
de particules virtuelles (quarks et anti-quarks
-objets sphériques-, gluons -objets allongés-)
nées des fluctuations quantiques du vide et des
interactions, remplit le "volume" du proton.
Superposition linéaire des six états propres suivants de l'atome d'Hydrogène :
{n=1, l=0, m=0}
{n=2, l=0, m=0}
{n=2, l=1, m=1}
{n=3, l=0, m=0}
{n=3, l=1, m=1}
{n=3, l=2, m=2}
La densité de probabilité de présence de l'électron est alors calculée à l'intérieur d'un domaine parallélépipédique
dont le centre est occupé par le proton. Le long de la ligne de visée, cette densité est intégrée
et visualisée à l'aide d'une échelle de luminance croissante.
Etude de la dynamique de Verhulst définie par l'itération suivante :
X = 0.5
0
X = RX (1 - X )
n n-1 n-1
Ici, dans ce calcul, le taux de croissance 'R' n'est plus constant mais
évolue de façon cyclique en prenant la suite (arbitraire) de valeurs suivantes :
R1 ==> R1 ==> R1 ==> R1
/\ ||
|| \/
R2 R1
/\ ||
|| \/
R2 R1
/\ ||
|| \/
R2 <== R2 <== R2 <== R2
où {R1,R2} désignent respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point courant de
l'image qui correspond au domaine [2.763,3.587]x[3.500,3.850] du plan.
La couleur de chaque point {R1,R2} est alors fonction de l'exposant de Lyapunov
du système dynamique auquel il est associé :
{gris,orange,rouge} : exposants de Lyapunov négatifs,
{jaune,vert,bleu} : exposants de Lyapunov positifs,
ce qui permet de distinguer respectivement les systèmes dynamiques stables de ceux qui sont chaotiques.
Au début des années soixante, lors d'études portant sur
l'évolution du climat terrestre, le
météorologue Edward Lorenz a proposé un
modèle très simplifié régi par le système non
linéaire suivant :
- dx
| ---- = -10x + 10y
| dt
|
| dy
< ---- = 28x - y - xz
| dt
|
| dz 8
| ---- = - ---z + xy
- dt 3
Cette image présente la trajectoire que décrit le
système au cours du temps dans l'espace
[x,y,z], à partir d'une condition initiale arbitraire ({0.01,0.01,0.01}).
La couleur n'a pas ici qu'une valeur artistique ;
elle véhicule une information pertinente : les
intensités des trois couleurs fondamentales
(le Rouge, le Vert et le Bleu) sont
proportionnelles respectivement aux trois
dérivées en t définies ci-dessus.
Variation artistique sur le thème des trajectoires de particules au cours de la formation d'un
agrégat fractal bidimensionnel.
Variation artistique sur le thème des trajectoires de particules au cours de la formation d'un
agrégat fractal bidimensionnel.
Variation artistique sur le thème des trajectoires de particules au cours de la formation d'un
agrégat fractal tridimensionnel.
Variation artistique sur le thème des trajectoires de particules au cours de la formation d'un
agrégat fractal tridimensionnel.
Le modèle d'Ising tridimensionnel avec des spins à 2 états et des conditions initiales aléatoires pour une température basse et uniforme.
Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans le corps des quaternions pour A={0,1,0,0}.
Section tridimensionnelle dans un ensemble de Julia calculé dans le corps des quaternions pour A={-0.5815147625160462,0.6358885017421603,0,0}.
Visualisation artistique de la rotation de l'ensemble de Julia calculé dans le corps des quaternions pour A={0,1,0,0}.
Visualisation artistique de la superposition d'une famille de 128 ensembles de Julia dans le corps des quaternions.
Synthèse fractale d'un paysage imaginaire au lever du Soleil.
Synthèse fractale d'un paysage imaginaire.
Synthèse fractale d'un paysage mystérieux et imaginaire au lever du Soleil.
Synthèse fractale de Monument Valley au coucher du Soleil.
Synthèse fractale de la Tour de Babel.
Synthèse fractale de la surface de la Lune, avec insertion d'un relief issu du Printemps de Botticelli -au milieu et à droite- destiné à marquer la nature artificielle de cette image.
Synthèse fractale de la surface d'une planète imaginaire.
Synthèse fractale d'une structure spongieuse tridimensionnelle.
Le chou-fleur est un objet fractal naturel qu'il est possible de décrire mathématiquement
à l'aide d'un petit nombre de paramètres.
Lorsque ces derniers reçoivent des valeurs inhabituelles,
des formes surprenantes peuvent apparaître.
Surface fractale s'appuyant sur la courbe de Peano.
Synthèse fractale de textures.
Synthèse fractale de textures.
Synthèse fractale de textures sous contraintes.
L'analyse en ondelettes est un outil mathématique récent qui prolonge les travaux
de Fourier, en permettant tout à la fois une analyse locale et à différentes échelles
d'un signal multidimensionnel non nécessairement périodique. Cette image résulte de
l'étude d'un champ fractal bidimensionnel à l'aide d'une ondelette de Morlet de phase
nulle, pour 128 échelles différentes (de 0.01 a 1.00) et dont ne sont conservées que
les parties réelles résultantes. Ces dernières sont empilées les unes derrière les autres (les grandes échelles étant au premier
plan), donnant ainsi naissance à cet "objet" tridimensionnel.
L'analyse en ondelettes est un outil mathématique récent qui prolonge les travaux
de Fourier, en permettant tout à la fois une analyse locale et à différentes échelles
d'un signal multidimensionnel non nécessairement périodique. Cette image résulte de
l'étude d'un champ fractal bidimensionnel à l'aide d'une ondelette de Morlet d'échelle 0.06,
pour 512 phases différentes (de 0 à 2pi) et dont ne sont conservées que
les arguments résultants. Ces derniers sont empilés les uns derrière les autres, donnant ainsi naissance à cet "objet" tridimensionnel.
Synthèse de structures géométriques grâce à la superposition de 128 champs aléatoires
filtrés puis symétrisés.
Superposition de trois diagrammes de Voronoï (rouge, vert et bleu) obtenus à partir de quelques dizaines de points aléatoires dans le plan.
Synthèse de textures régulières par déformation d'une image simple (un trèfle à 32 feuilles).
Produit généralisé de deux images géométriquement très simples (un champ gaussien et un trèfle a 3 feuilles)
à l'aide d'une table de multiplication définie par un champ fractal bidimensionnel.
Dans un référentiel pour lequel le Soleil est à l'origine des coordonnées,
les neuf planètes décrivent des trajectoires quasiment elliptiques.
Par contre, vues depuis la Terre, ces dernières semblent plus complexes
et présentent des boucles de rétrogradation ayant conduit, avant la révolution copernicienne,
aux épicycles de Ptolémée.
Cette image présente le ciel vu par les habitants d'une planète virtuelle située deux fois moins loin
que Pluton et dans un plan pratiquement perpendiculaire à celui de l'écliptique
(sa vitesse initiale est alors determinée grâce à la troisième loi de Kepler).
Les trajectoires apparentes des neuf planètes réelles semblent désordonnées, voire chaotiques
(seule celle du Soleil se distingue des autres, l'astre du jour étant situé au foyer
des ellipses képlériennes).
Cela conduit à la notion de chaos virtuel et montre de plus que pour certains systèmes,
les notions d'ordre et de désordre peuvent être des notions relatives. Enfin,
quelles sciences, quelles philosophies et quelles religions auraient pu développer
ses habitants ?
Visualisation artistique du système solaire vu depuis une planète virtuelle.
Visualisation artistique du système solaire vu depuis une planète virtuelle.
Alors que la lumière du Soleil met environ huit minutes pour nous parvenir,
les photons qui la composent subissent, avant de voguer dans les espaces infinis,
une marche aléatoire dont la durée moyenne est de l'ordre de 100.000 ans
(c'est-à-dire en gros le temps qu'il faut à la lumière pour traverser la Voie Lactée dans sa plus grande dimension) !
Visualisation artistique de l'expansion de l'Univers obtenue à partir de mesures effectuées par le satellite IRAS.
Et si la Science était l'ultime objet fractal...