The Bertrand paradox [Le paradoxe de Bertrand].




Soit un disque D dans un domaine plan E. Des droites sont jetées au hasard dans E; seules sont conservées celles qui intersectent D. Quelle est alors la probabilité P pour que la longueur de la corde d'intersection soit supérieure à la longueur du côté du triangle équilateral inscrit dans D? Suivant le modèle utilisé pour décrire le problème, diverses réponses peuvent être obtenues: 1/2, 1/3, 1/4,... (c'est là le paradoxe de Bertrand).

Le problème peut être généralisé en donnant à D d'une part une forme arbitraire (éventuellement non connexe) et d'autre part une densité. Une droite aléatoire intersectant D coupe ce dernier en deux domaines D1 et D2. Quelle est alors la probabilité P pour que le rapport R=MASSE(D1)/MASSE(D) (ou évidemmnent R=MASSE(D2)/MASSE(D)) soit compris entre S et 1-S? Le problème initial correspond évidemment à un domaine D circulaire de densité uniforme avec: 
                                   ___
                                  /
                         4π - 3.\/  3
                    S = --------------- ~ 0.1955011094778853
                              12π
Dans les expériences virtuelles qui seront faites, le domaine E sera rectangulaire et limité par les bords des images représentatives, un paramètre important étant le rapport AIRE(D)/AIRE(E). Chacune des droites aléatoires sera définie à l'aide d'une part de l'un de ses points obtenu par un tirage aléatoire uniforme dans E et d'autre part de l'angle qu'elle fait fait avec l'horizontale obtenu par un tirage aléatoire uniforme dans [-π/2,+π/2].


Dans l'expérience ici visualisée, le domaine D (circulaire et de densité uniforme) apparait en vert. Le rapport AIRE(D)/AIRE(E) est égal à 236605/448500=0.5275. 1000000 droites aléatoires ont été générées, 815165 d'entre-elles intersectant D. L'histogramme blanc montre la distribution des rapports R (dans [0,1]) de ces dernières droites. La probabilité P mesurée ici est égale à 446114/815165=0.5473 (voisine de 1/2). Seules 161 droites sont visualisées (en rouge) avec une luminance proportionnelle à R si R<1/2 et à 1-R sinon.


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