La spirale d'Ulam et ses généralisations
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Résumé : Qu'est-ce que la spirale d'Ulam et comment peut-elle être étendue ?
Mots-Clefs : Ulam Spiral, Spirale d'Ulam, Prime Numbers, Nombres Premiers.
Plan de ce document :
1-DEFINITION DE LA SPIRALE D'ULAM :
En 1963 le mathématicien Stanislas Ulam eut l'idée de dessiner une "spirale carrée" sur une feuille de papier quadrillé.
La parcourant en partant du centre, il numérota (N=1, 2, 3, 4,...) les points "entiers"
rencontrés (c'est-à-dire les nœuds du quadrillage) :
5----4----3
| | .
| | .
6 1----2 .
| |
| |
7----8----9----10
et ensuite il marqua ("X") tous les points dont le numéro N était un nombre premier (2, 3, 5, 7,...) :
X----4----X
| | .
| | .
6 1----X .
| |
| |
X----8----9----10
(1 n'étant pas un nombre premier). Ce procédé peut être répété aujourd'hui rapidement grâce aux ordinateurs ;
il donne naissance à des images, telle celle qui suit qui présente les nombres entiers de 1 à 2025 parmi lesquels 306 sont premiers :
où le carré vert représente 1 et les blancs, les nombres premiers.
Cette image montre que les nombres premiers ne sont pas distribués aléatoirement puisqu'en effet des formes bidimensionnelles émergent.
Les alignements observés correspondent en général à des polynomes du second degré et en particulier
à la formule d'Euler :
2
f(n) = n - n + 41
n ∈ [1,40]
qui, pour toutes les valeurs de n comprises entre 1 et 40, ne donnent que des nombres premiers.
Il est d'ailleurs intéressant de comparer la spirale d'Ulam avec une image aléatoire possédant le même pourcentage (15%) de carrés blancs :
Voici quatre images montrant les nombres premiers 'P-jumeaux' (ensemble de deux nombres premiers {P1,P2}
tel que d'une part P2-P1=P [P étant un nombre pair] et que d'autre part il n'y ait pas d'autres nombres premiers entre P1 et P2) :
2-QUELQUES GENERALISATIONS :
Dans les années 1980s, j'ai eu l'idée de généraliser ce processus en visualisant ND
(le nombre de diviseurs de N ; rappelons que les nombres premiers n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes).
D'où l'image suivante qui montre 2025 nombres :
où le carré vert représente 1 et les blancs, les nombres premiers.
Quant aux carrés rouges, ils montrent les autres nombres, leur luminance étant
proportionnelle à ND.
Les deux images suivantes montrent respectivement 100 et 1000 nombres entiers en utilisant un code
de représentation différent. ND est visualisé simultanément grâce au rayon de chaque sphère
ainsi que par la luminance croissante des couleurs :
De plus, il y a de nombreuses autres façons de mettre en évidence ces informations.
Par exemple, ND peut être visualisé à l'aide d'une troisième dimension :
Evidemment d'autres types de spirales peuvent être utilisés et par exemple celle d'Archimède :
Enfin, dans les images suivantes c'est la friabilité des nombres entiers qui est visualisée.
Un nombre entier N est dit K-friable si aucun de ses facteurs premiers n'est supérieur à K.
Chaque nombre N est visualisé à l'aide d'une sphère dont la luminance et le rayon sont des fonctions décroissante de log(K) :
3-SPIRALE D'ULAM ET CREATION ARTISTIQUE :
La spirale d'Ulam et les nombres premiers peuvent être une source d'inspiration artistique ainsi que le montrent les images suivantes :
qui font appel à différents procédés : transformations conformes, filtrage, jeu de la vie étendue,...
qui permettent donc des déformations, des transformations, des lissages,... de la spirale d'Ulam et de quelques unes
de ses généralisations.
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